हुक के नियम की परिभाषा और सूत्र. सामान्यीकृत हुक का नियम हुक का नियम किस वोल्टेज मान तक वैध है?

ऊपर चर्चा की गई तनाव और विकृति अवस्थाएँ एक ही भौतिक इकाई के घटक हैं - शरीर पर एक बिंदु पर तनाव-तनाव अवस्था।

विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, तनाव और तनाव के बीच मौजूद शारीरिक संबंधों को ध्यान में रखना आवश्यक है। सांख्यिकीय रूप से निर्धारित समस्याओं में, केवल संतुलन समीकरणों का उपयोग करके, शारीरिक संबंधों के बिना तनाव का पता लगाना संभव है। स्थैतिक रूप से अनिश्चित समस्याओं में यह संभावना अनुपस्थित होती है।

तनाव और तनाव के बीच संबंध आमतौर पर प्रयोग के माध्यम से स्थापित किया जाता है, और इसकी जटिलता सामग्री के गुणों पर निर्भर करती है। व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए, रैखिक निर्भरता का उपयोग किया जाता है, जिसकी सहायता से काफी व्यापक सीमा के भीतर तनाव में परिवर्तन होने पर गणना करना संभव होता है।

आइए हम बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, शरीर पर एक बिंदु पर तनावग्रस्त और विकृत राज्यों के घटकों के बीच संबंध का विश्लेषण करें। इस प्रयोजन के लिए, हमने एक ठोस पिंड से एक प्राथमिक समांतर चतुर्भुज काटा (चित्र 10.10)।

चावल। 10.10.

आइए हम किसी तत्व पर केवल स्पर्शरेखीय तनाव t y/ की क्रिया के मामले पर विचार करें (चित्र 10.10, ए)।इस स्थिति में, समकोण केवल समतल के समानांतर समतल में ही बदलता है हू.इसी प्रकार, हम स्पर्शरेखीय तनावों की क्रिया से उत्पन्न होने वाले कोणीय विस्थापन पर विचार कर सकते हैं x yzऔर एक्स zv . यह मानते हुए कि सामग्री आइसोट्रोपिक है और स्पर्शरेखा तनाव और कोणीय विस्थापन के बीच एक रैखिक संबंध है, हम संबंधों पर पहुंचते हैं

कहाँ जी-दूसरे प्रकार की लोच का मापांक।

आइए हम अक्ष की दिशा में सामान्य तनाव की क्रिया के कारण होने वाले विस्थापन का विश्लेषण करें ओह(चित्र 10.10, बी)।ऑक्स अक्ष की दिशा में इस तनाव के कारण होने वाली विकृति ct v /? के बराबर है, और अन्य दो अक्षों की दिशा में, विस्थापन पॉइसन अनुपात का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है वीसूत्र के अनुसार -vg वी/?.अक्ष की दिशा में विकृतियाँ इसी प्रकार निर्धारित की जाती हैं ओहसे और यऔर एक 2. अंततः, सभी दिशाओं में विकृतियों का योग करने पर हमें प्राप्त होता है

शरीर का तापमान बदलते समय, मात्रा a को संबंधों के दाहिनी ओर जोड़ा जाना चाहिए (10.38) पर,कहाँ पर-शरीर के तापमान में परिवर्तन; a एक आइसोट्रोपिक सामग्री के रैखिक थर्मल विस्तार का गुणांक है। जहाँ तक सूत्रों (10.37) का प्रश्न है, वे अपरिवर्तित रहेंगे।

संबंध (10.37) और (10.38) कहलाते हैं सामान्यीकृत हुक का नियमरैखिक रूप से लोचदार आइसोट्रोपिक सामग्री के मामले में।

गणना करते समय, व्युत्क्रम संबंध भी उपयोगी होते हैं:

ध्यान दें कि शारीरिक संबंध बनाते समय, हमने चुपचाप यह मान लिया था कि मुख्य तनाव और मुख्य विकृतियों की दिशाएँ एक-दूसरे से मेल खाती हैं। इस धारणा को कहा जाता है तनाव और तनाव टेंसरों की समाक्षीयता के लिए स्थितियाँ।

अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के मामले में, जिनके गुण अलग-अलग दिशाओं में भिन्न होते हैं, समाक्षीयता की स्थिति संतुष्ट नहीं होती है। लोचदार अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए, सामान्यीकृत हुक का नियम इस प्रकार लिखा गया है:

यहाँ पर -- लोचदार स्थिरांक जो सामग्री के गुणों को व्यक्त करते हैं। आइए हम संकेतन का परिचय दें

तब हम संबंधों (10.40) को वेक्टर-मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

जहां (ए) और (ई) क्रमशः तनाव और तनाव के वेक्टर हैं; [ए]किसी सामग्री के लोचदार गुणों का मैट्रिक्स।

तीन स्थिरांकों वाली एक आइसोट्रोपिक रैखिक रूप से लोचदार सामग्री के लिए ई, जीऔर v, जैसा कि हमने पहले स्थापित किया था, उनमें से केवल दो स्वतंत्र हैं। ऐसी सामग्री के लोचदार गुणों का मैट्रिक्स इस प्रकार है:

अनिसोट्रोपिक सामग्री (10.40) के लिए सामान्यीकृत हुक का नियम लिखते समय, 36 स्थिरांक का उपयोग किया गया था। आइए निर्धारित करें कि इनमें से कितनी मात्राएँ स्वतंत्र हैं। आइए दो तनावग्रस्त अवस्थाओं पर विचार करें (चित्र 10.11)।

चावल। 10.11.

किसी तत्व का दिशा में बढ़ाव पर, पहली दिशा की तनावग्रस्त स्थिति के कारण (चित्र 10.11, ए),के बराबर होती है डीए वीएल/= एक 2 पी एक्स डाई।पहली दिशा में तत्व का बढ़ाव, दूसरे तनाव की स्थिति के कारण, इसी तरह निर्धारित किया जाता है (चित्र 10.11, बी): डीए एफ/एक्स = ए एक्स पी वाई डीएक्स।

कार्य की पारस्परिकता के सिद्धांत के अनुसार

जहाँ से यह इस प्रकार है कि I |2 = एक 21.

इसी तरह आप 14 और समानताएं प्राप्त कर सकते हैं ए:जे= एजेटी,मैं, जे = 1, 2,..., 6, मैं*जे.सामग्री अनुपालन मैट्रिक्स एसममित है. इस प्रकार, अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए, 36 विशेषताओं में से केवल 21 स्वतंत्र हैं।

मिश्रित सामग्रियों का विश्लेषण करते समय, किसी को अनिसोट्रॉपी के विशेष मामलों से निपटना पड़ता है। एक सामान्य मामला है ऑर्थोट्रोपिक सामग्री,तीन परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में समरूपता द्वारा विशेषता। ऐसी अनिसोट्रॉपी का एक उदाहरण लकड़ी है। ऑर्थोट्रोपिक माध्यम के लोचदार गुणों को नौ स्वतंत्र स्थिरांक द्वारा वर्णित किया गया है:

जहां समरूपता के गुण से

अधिकांश मामलों में मिश्रित सामग्रियों के लोचदार स्थिरांक प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

• वेक्टर मात्रा के रूप में तनाव और तनाव को रिकॉर्ड करना औपचारिक है और सुविधा के लिए पेश किया गया है।

अवलोकनों से पता चलता है कि अधिकांश लोचदार निकायों, जैसे स्टील, कांस्य, लकड़ी, आदि के लिए, विरूपण का परिमाण अभिनय बलों के परिमाण के समानुपाती होता है। इस गुण को समझाने वाला एक विशिष्ट उदाहरण स्प्रिंग बैलेंस है, जिसमें स्प्रिंग का बढ़ाव अभिनय बल के समानुपाती होता है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि ऐसे पैमानों का विभाजन पैमाना एक समान होता है। लोचदार निकायों की एक सामान्य संपत्ति के रूप में, बल और विरूपण के बीच आनुपातिकता का नियम पहली बार 1660 में आर. हुक द्वारा तैयार किया गया था और 1678 में "डी पोटेंशिया रेस्टिटुटिवा" कार्य में प्रकाशित हुआ था। इस कानून के आधुनिक सूत्रीकरण में, बल और उनके अनुप्रयोग के बिंदुओं की गति पर विचार नहीं किया जाता है, बल्कि तनाव और विरूपण पर विचार किया जाता है।

इस प्रकार, शुद्ध तनाव के लिए यह माना जाता है:

यहां खिंचाव की दिशा में लिए गए किसी भी खंड का सापेक्ष बढ़ाव दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि चित्र में पसलियां दिखाई गई हैं। 11 लोड लगाने से पहले प्रिज्म ए, बी और सी थे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और विरूपण के बाद वे क्रमशः होंगे, फिर।

स्थिरांक E, जिसमें तनाव का आयाम होता है, को लोचदार मापांक या यंग मापांक कहा जाता है।

अभिनय तनाव ओ के समानांतर तत्वों का तनाव लंबवत तत्वों के संकुचन के साथ होता है, यानी, रॉड के अनुप्रस्थ आयामों में कमी (ड्राइंग में आयाम)। सापेक्ष अनुप्रस्थ तनाव

एक ऋणात्मक मान होगा. यह पता चलता है कि एक लोचदार शरीर में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ विकृतियाँ एक स्थिर अनुपात से संबंधित होती हैं:

प्रत्येक सामग्री के लिए स्थिर आयाम रहित मात्रा v को पार्श्व संपीड़न अनुपात या पॉइसन अनुपात कहा जाता है। पॉइसन ने स्वयं, सैद्धांतिक विचारों से आगे बढ़ते हुए, जो बाद में गलत निकले, माना कि सभी सामग्रियों के लिए (1829)। दरअसल, इस गुणांक के मान अलग-अलग हैं। हाँ, स्टील के लिए

अंतिम सूत्र में व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

हुक का नियम कोई सटीक कानून नहीं है। स्टील के लिए, बीच आनुपातिकता से विचलन महत्वहीन हैं, जबकि कच्चा लोहा या नक्काशी स्पष्ट रूप से इस कानून का पालन नहीं करती है। उनके लिए, और केवल सबसे मोटे सन्निकटन में एक रैखिक फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

लंबे समय तक, सामग्रियों की ताकत का संबंध केवल उन सामग्रियों से था जो हुक के नियम का पालन करती हैं, और अन्य निकायों के लिए सामग्रियों की ताकत के सूत्रों का अनुप्रयोग केवल बड़े रिजर्व के साथ ही किया जा सकता था। वर्तमान में, गैर-रैखिक लोच कानूनों का अध्ययन किया जाने लगा है और विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें लागू किया जा रहा है।

हुक के नियम की खोज 17वीं शताब्दी में अंग्रेज रॉबर्ट हुक ने की थी। स्प्रिंग के खिंचाव के बारे में यह खोज लोच सिद्धांत के नियमों में से एक है और विज्ञान और प्रौद्योगिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

हुक के नियम की परिभाषा एवं सूत्र

इस नियम का सूत्रीकरण इस प्रकार है: किसी पिंड के विरूपण के समय प्रकट होने वाला लोचदार बल शरीर के बढ़ाव के समानुपाती होता है और विरूपण के दौरान अन्य कणों के सापेक्ष इस शरीर के कणों की गति के विपरीत निर्देशित होता है।

कानून का गणितीय अंकन इस तरह दिखता है:

चावल। 1. हुक के नियम का सूत्र

कहाँ फूप्र– तदनुसार, लोचदार बल, एक्स- शरीर का बढ़ाव (वह दूरी जिससे शरीर की मूल लंबाई बदलती है), और क– आनुपातिकता गुणांक, जिसे शरीर की कठोरता कहा जाता है। बल को न्यूटन में मापा जाता है, और किसी पिंड का बढ़ाव मीटर में मापा जाता है।

कठोरता के भौतिक अर्थ को प्रकट करने के लिए, आपको उस इकाई को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है जिसमें हुक के नियम के सूत्र में बढ़ाव को मापा जाता है - 1 मीटर, पहले k के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की थी।

चावल। 2. शरीर की कठोरता का सूत्र

यह सूत्र दर्शाता है कि किसी पिंड की कठोरता संख्यात्मक रूप से उस लोचदार बल के बराबर होती है जो शरीर (स्प्रिंग) में 1 मीटर तक विकृत होने पर होता है। यह ज्ञात है कि स्प्रिंग की कठोरता उसके आकार, आकार और सामग्री पर निर्भर करती है जिससे शरीर का निर्माण होता है।

लोचदार बल

अब जब हम जानते हैं कि हुक के नियम को कौन सा सूत्र व्यक्त करता है, तो इसके मूल मूल्य को समझना आवश्यक है। मुख्य मात्रा लोचदार बल है। यह एक निश्चित क्षण में प्रकट होता है जब शरीर ख़राब होने लगता है, उदाहरण के लिए, जब स्प्रिंग को दबाया या खींचा जाता है। यह गुरुत्वाकर्षण से विपरीत दिशा में निर्देशित है। जब शरीर पर लगने वाला लोचदार बल और गुरुत्वाकर्षण बराबर हो जाता है, तो सहारा और शरीर रुक जाते हैं।

विकृति एक अपरिवर्तनीय परिवर्तन है जो शरीर के आकार और उसके आकार में होता है। वे एक दूसरे के सापेक्ष कणों की गति से जुड़े हुए हैं। यदि कोई व्यक्ति नरम कुर्सी पर बैठेगा तो कुर्सी में विकृति आ जायेगी अर्थात् उसकी विशेषताएँ बदल जायेंगी। यह विभिन्न प्रकारों में आता है: झुकना, खींचना, संपीड़न, कतरनी, मरोड़।

चूंकि लोचदार बल मूल रूप से विद्युत चुम्बकीय बलों से संबंधित है, आपको पता होना चाहिए कि यह इस तथ्य के कारण उत्पन्न होता है कि अणु और परमाणु - सबसे छोटे कण जो सभी निकायों को बनाते हैं - एक दूसरे को आकर्षित और प्रतिकर्षित करते हैं। यदि कणों के बीच की दूरी बहुत कम है तो वे प्रतिकारक बल से प्रभावित होते हैं। यदि यह दूरी बढ़ा दी जाये तो उन पर आकर्षण बल कार्य करेगा। इस प्रकार, आकर्षक और प्रतिकारक शक्तियों के बीच का अंतर लोचदार बलों में प्रकट होता है।

लोचदार बल में जमीनी प्रतिक्रिया बल और शरीर का वजन शामिल होता है। प्रतिक्रिया की ताकत विशेष रुचि रखती है। यह वह बल है जो किसी वस्तु को किसी सतह पर रखे जाने पर उस पर कार्य करता है। यदि पिंड लटका हुआ है, तो उस पर लगने वाले बल को धागे का तनाव बल कहा जाता है।

लोचदार बलों की विशेषताएं

जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, विरूपण के दौरान लोचदार बल उत्पन्न होता है, और इसका उद्देश्य विकृत सतह पर सख्ती से लंबवत मूल आकृतियों और आकारों को बहाल करना है। लोचदार बलों में भी कई विशेषताएं होती हैं।

• वे विरूपण के दौरान उत्पन्न होते हैं;
• वे एक साथ दो विकृत शरीरों में प्रकट होते हैं;
• वे उस सतह के लंबवत होते हैं जिसके संबंध में शरीर विकृत होता है।
• वे शरीर के कणों के विस्थापन की दिशा के विपरीत हैं।

व्यवहार में कानून का अनुप्रयोग

हुक का नियम तकनीकी और उच्च-तकनीकी उपकरणों और प्रकृति दोनों में लागू होता है। उदाहरण के लिए, लोचदार बल घड़ी तंत्र में, परिवहन में सदमे अवशोषक में, रस्सियों, रबर बैंड और यहां तक ​​कि मानव हड्डियों में भी पाए जाते हैं। हुक के नियम का सिद्धांत डायनेमोमीटर पर आधारित है, जो बल मापने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला उपकरण है।

हुक का नियमइसे आमतौर पर तनाव घटकों और तनाव घटकों के बीच रैखिक संबंध कहा जाता है।

आइए एक प्रारंभिक आयताकार समांतर चतुर्भुज लें, जिसके फलक निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं, जो सामान्य तनाव से भरा हुआ है σ एक्स, दो विपरीत फलकों पर समान रूप से वितरित (चित्र 1)। जिसमें σय = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

आनुपातिकता की सीमा तक सापेक्ष बढ़ाव सूत्र द्वारा दिया जाता है

कहाँ इ- लोच का तन्य मापांक। स्टील के लिए इ = 2*10 5 एमपीएइसलिए, विकृतियाँ बहुत छोटी होती हैं और इन्हें प्रतिशत या 1 * 10 5 (स्ट्रेन गेज उपकरणों में जो विकृतियों को मापते हैं) के रूप में मापा जाता है।

किसी तत्व को अक्ष की दिशा में विस्तारित करना एक्सविरूपण घटकों द्वारा निर्धारित अनुप्रस्थ दिशा में इसकी संकीर्णता के साथ

कहाँ μ - एक स्थिरांक जिसे पार्श्व संपीड़न अनुपात या पॉइसन अनुपात कहा जाता है। स्टील के लिए μ आमतौर पर 0.25-0.3 माना जाता है।

यदि प्रश्न में तत्व सामान्य तनाव के साथ एक साथ लोड किया गया है σ एक्स, σय, σ z, समान रूप से इसके चेहरों पर वितरित किया जाता है, फिर विकृतियाँ जोड़ी जाती हैं

तीनों तनावों में से प्रत्येक के कारण होने वाले विरूपण घटकों को सुपरइम्पोज़ करके, हम संबंध प्राप्त करते हैं

इन संबंधों की पुष्टि अनेक प्रयोगों से होती है। लागू ओवरले विधिया सुपरपोजीशनकई बलों के कारण होने वाले कुल तनाव और तनाव का पता लगाना तब तक वैध है जब तक तनाव और तनाव छोटे होते हैं और लागू बलों पर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। ऐसे मामलों में, हम विकृत शरीर के आयामों में छोटे बदलावों और बाहरी बलों के आवेदन के बिंदुओं के छोटे आंदोलनों की उपेक्षा करते हैं और अपनी गणना को शरीर के प्रारंभिक आयामों और प्रारंभिक आकार पर आधारित करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विस्थापन की लघुता का मतलब यह नहीं है कि बलों और विकृतियों के बीच संबंध रैखिक हैं। तो, उदाहरण के लिए, एक संपीड़ित बल में क्यूरॉड को कतरनी बल के साथ अतिरिक्त रूप से लोड किया गया आर, छोटे विक्षेपण के साथ भी δ एक अतिरिक्त मुद्दा उठता है एम = Qδ, जो समस्या को अरेखीय बनाता है। ऐसे मामलों में, कुल विक्षेपण बलों के रैखिक कार्य नहीं होते हैं और इन्हें सरल सुपरपोजिशन द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि यदि कतरनी तनाव तत्व के सभी चेहरों पर कार्य करता है, तो संबंधित कोण की विकृति केवल कतरनी तनाव के संबंधित घटकों पर निर्भर करती है।

स्थिर जीलोच का अपरूपण मापांक या अपरूपण मापांक कहा जाता है।

किसी तत्व पर तीन सामान्य और तीन स्पर्शरेखा तनाव घटकों की कार्रवाई के कारण विरूपण का सामान्य मामला सुपरपोजिशन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है: संबंधों (5.2 बी) द्वारा निर्धारित तीन कतरनी विकृतियां, अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित तीन रैखिक विकृतियों पर आरोपित होती हैं ( 5.2ए)। समीकरण (5.2ए) और (5.2बी) तनाव और तनाव के घटकों के बीच संबंध निर्धारित करते हैं और कहलाते हैं सामान्यीकृत हुक का नियम. आइए अब हम दिखाते हैं कि कतरनी मापांक जीलोच के तन्य मापांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया इऔर पॉइसन का अनुपात μ . ऐसा करने के लिए, विशेष मामले पर विचार करें जब σ एक्स = σ , σय = -σ और σ z = 0.

आइए तत्व को काटें ए बी सी डीअक्ष के समानांतर समतल जेडऔर अक्षों से 45° के कोण पर झुका हुआ है एक्सऔर पर(चित्र 3)। तत्व 0 की संतुलन स्थितियों से निम्नानुसार है bс, साधारण तनाव σ वीतत्व के सभी चेहरों पर ए बी सी डीशून्य के बराबर हैं, और अपरूपण प्रतिबल बराबर हैं

यह तनाव की स्थिति कहलाती है शुद्ध कतरनी. समीकरण (5.2ए) से यह इस प्रकार है

अर्थात् क्षैतिज तत्व का विस्तार 0 है सीऊर्ध्वाधर तत्व 0 को छोटा करने के बराबर बी: εय = -ε एक्स.

चेहरों के बीच का कोण अबऔर ईसा पूर्वपरिवर्तन, और संबंधित कतरनी तनाव मान γ त्रिभुज 0 से पाया जा सकता है bс:

यह इस प्रकार है कि

किसी ठोस पिंड पर बाहरी बलों की कार्रवाई से उसके आयतन के बिंदुओं पर तनाव और विकृति उत्पन्न होती है। इस मामले में, एक बिंदु पर तनावग्रस्त स्थिति, इस बिंदु से गुजरने वाले विभिन्न क्षेत्रों पर तनाव के बीच संबंध, स्थैतिक समीकरणों द्वारा निर्धारित होते हैं और सामग्री के भौतिक गुणों पर निर्भर नहीं होते हैं। विकृत अवस्था, विस्थापन और विकृति के बीच संबंध, ज्यामितीय या गतिक विचारों का उपयोग करके स्थापित किया जाता है और यह सामग्री के गुणों पर भी निर्भर नहीं करता है। तनाव और तनाव के बीच संबंध स्थापित करने के लिए, सामग्री के वास्तविक गुणों और लोडिंग स्थितियों को ध्यान में रखना आवश्यक है। प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर तनाव और तनाव के बीच संबंधों का वर्णन करने वाले गणितीय मॉडल विकसित किए गए हैं। इन मॉडलों को सामग्री के वास्तविक गुणों और लोडिंग स्थितियों को पर्याप्त सटीकता के साथ प्रतिबिंबित करना चाहिए।

संरचनात्मक सामग्रियों के लिए सबसे आम मॉडल लोच और प्लास्टिसिटी हैं। लोच बाहरी भार के प्रभाव में आकार और आकार बदलने और भार हटा दिए जाने पर अपने मूल विन्यास को बहाल करने का शरीर का गुण है। गणितीय रूप से, लोच की संपत्ति तनाव टेंसर और तनाव टेंसर के घटकों के बीच एक-से-एक कार्यात्मक संबंध की स्थापना में व्यक्त की जाती है। लोच का गुण न केवल सामग्रियों के गुणों को दर्शाता है, बल्कि लोडिंग की स्थिति को भी दर्शाता है। अधिकांश संरचनात्मक सामग्रियों के लिए, लोच का गुण बाहरी ताकतों के मध्यम मूल्यों पर प्रकट होता है, जिससे छोटे विरूपण होते हैं, और कम लोडिंग दर पर, जब तापमान प्रभाव के कारण ऊर्जा हानि नगण्य होती है। एक सामग्री को रैखिक रूप से लोचदार कहा जाता है यदि तनाव टेंसर और तनाव टेंसर के घटक रैखिक संबंधों से संबंधित होते हैं।

लोडिंग के उच्च स्तर पर, जब शरीर में महत्वपूर्ण विकृतियाँ होती हैं, तो सामग्री आंशिक रूप से अपने लोचदार गुणों को खो देती है: जब उतार दिया जाता है, तो इसके मूल आयाम और आकार पूरी तरह से बहाल नहीं होते हैं, और जब बाहरी भार पूरी तरह से हटा दिए जाते हैं, तो अवशिष्ट विकृतियाँ दर्ज की जाती हैं। इस मामले में तनाव और तनाव के बीच संबंध स्पष्ट होना बंद हो जाता है। यह भौतिक संपत्ति कहलाती है प्लास्टिसिटीप्लास्टिक विरूपण के दौरान संचित अवशिष्ट विकृतियों को प्लास्टिक कहा जाता है।

उच्च भार स्तर का कारण बन सकता है विनाश, अर्थात् शरीर का भागों में विभाजन।विभिन्न सामग्रियों से बने ठोस विभिन्न मात्रा में विरूपण पर विफल होते हैं। छोटी-छोटी विकृतियों पर फ्रैक्चर भंगुर होता है और, एक नियम के रूप में, ध्यान देने योग्य प्लास्टिक विकृतियों के बिना होता है। इस तरह का विनाश कच्चा लोहा, मिश्र धातु इस्पात, कंक्रीट, कांच, चीनी मिट्टी की चीज़ें और कुछ अन्य संरचनात्मक सामग्रियों के लिए विशिष्ट है। निम्न-कार्बन स्टील्स, अलौह धातुओं और प्लास्टिक में महत्वपूर्ण अवशिष्ट विकृतियों की उपस्थिति में प्लास्टिक प्रकार की विफलता की विशेषता होती है। हालाँकि, उनके विनाश की प्रकृति के अनुसार सामग्रियों का भंगुर और नमनीय में विभाजन बहुत मनमाना है, यह आमतौर पर कुछ मानक परिचालन स्थितियों को संदर्भित करता है; एक ही सामग्री परिस्थितियों (तापमान, भार की प्रकृति, विनिर्माण प्रौद्योगिकी, आदि) के आधार पर भंगुर या नमनीय के रूप में व्यवहार कर सकती है। उदाहरण के लिए, जो सामग्रियां सामान्य तापमान पर प्लास्टिक होती हैं, वे कम तापमान पर भंगुर हो जाती हैं। इसलिए, भंगुर और प्लास्टिक सामग्री के बारे में नहीं, बल्कि सामग्री की भंगुर या प्लास्टिक अवस्था के बारे में बात करना अधिक सही है।

मान लीजिए कि सामग्री रैखिक रूप से लोचदार और आइसोट्रोपिक है। आइए हम एक अक्षीय तनाव अवस्था (चित्र 1) की स्थितियों के तहत एक प्राथमिक आयतन पर विचार करें, ताकि तनाव टेंसर का रूप हो

ऐसे भार से अक्ष की दिशा में आयाम बढ़ जाते हैं ओह,रैखिक विरूपण की विशेषता, जो तनाव के परिमाण के समानुपाती होती है

चित्र .1।एकअक्षीय तनाव की स्थिति

यह संबंध एक गणितीय संकेतन है हुक का नियमएकअक्षीय तनाव अवस्था में तनाव और संबंधित रैखिक विरूपण के बीच आनुपातिक संबंध स्थापित करना। आनुपातिकता गुणांक ई को लोच का अनुदैर्ध्य मापांक या यंग मापांक कहा जाता है।इसमें तनाव का आयाम है.

क्रिया की दिशा में आकार में वृद्धि के साथ-साथ; एक ही तनाव के तहत, आकार में कमी दो ऑर्थोगोनल दिशाओं में होती है (चित्र 1)। हम संबंधित विकृतियों को और द्वारा निरूपित करते हैं , और ये विकृतियाँ सकारात्मक होते हुए भी नकारात्मक हैं और इनके समानुपाती हैं:

तीन ऑर्थोगोनल अक्षों के साथ तनाव की एक साथ कार्रवाई के साथ, जब कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है, तो सुपरपोजिशन (समाधान का सुपरपोजिशन) का सिद्धांत एक रैखिक रूप से लोचदार सामग्री के लिए मान्य होता है:

सूत्रों को ध्यान में रखते हुए (1 4) हम प्राप्त करते हैं

स्पर्शरेखीय तनाव कोणीय विकृति का कारण बनते हैं, और छोटी विकृतियों पर वे रैखिक आयामों में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करते हैं, और इसलिए रैखिक विकृति होती है। इसलिए, वे मनमाने ढंग से तनाव की स्थिति के मामले में भी मान्य हैं और तथाकथित व्यक्त करते हैं सामान्यीकृत हुक का नियम.

कोणीय विकृति स्पर्शरेखीय तनाव के कारण होती है, और विकृति और, क्रमशः, तनाव और के कारण होती है। एक रैखिक रूप से लोचदार आइसोट्रोपिक शरीर के लिए संबंधित स्पर्शरेखीय तनाव और कोणीय विकृतियों के बीच आनुपातिक संबंध होते हैं

जो कानून को व्यक्त करते हैं हुक की कतरनी.आनुपातिकता कारक G कहलाता है कतरनी मॉड्यूल.यह महत्वपूर्ण है कि सामान्य तनाव कोणीय विकृतियों को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि इस मामले में केवल खंडों के रैखिक आयाम बदलते हैं, न कि उनके बीच के कोण (चित्र 1)।

औसत तनाव (2.18), तनाव टेंसर के पहले अपरिवर्तनीय के आनुपातिक, और वॉल्यूमेट्रिक तनाव (2.32) के बीच एक रैखिक संबंध भी मौजूद है, जो तनाव टेंसर के पहले अपरिवर्तनीय के साथ मेल खाता है:

अंक 2।समतल कतरनी तनाव

संगत आनुपातिकता कारक कोबुलाया लोच का आयतन मापांक.

सूत्र (1 7) में सामग्री की लोचदार विशेषताएं शामिल हैं इ, , जीऔर को,इसके लोचदार गुणों का निर्धारण। हालाँकि, ये विशेषताएँ स्वतंत्र नहीं हैं। एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए, दो स्वतंत्र लोचदार विशेषताएं होती हैं, जिन्हें आमतौर पर लोचदार मापांक के रूप में चुना जाता है इऔर पॉइसन का अनुपात। कतरनी मापांक व्यक्त करने के लिए जीके माध्यम से इऔर , आइए हम स्पर्शरेखीय तनावों की क्रिया के तहत समतल कतरनी विरूपण पर विचार करें (चित्र 2)। गणना को सरल बनाने के लिए, हम एक भुजा वाले वर्गाकार तत्व का उपयोग करते हैं एक।आइए प्रमुख तनावों की गणना करें , . ये तनाव मूल क्षेत्रों के कोण पर स्थित क्षेत्रों पर कार्य करते हैं। चित्र से. 2 हम तनाव की दिशा में रैखिक विरूपण और कोणीय विरूपण के बीच संबंध पाएंगे . समचतुर्भुज का प्रमुख विकर्ण, विरूपण की विशेषता, के बराबर है

छोटी विकृतियों के लिए

इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए

विरूपण से पहले, इस विकर्ण का आकार था . फिर हमारे पास होगा

सामान्यीकृत हुक के नियम (5) से हम प्राप्त करते हैं

शिफ्ट (6) के लिए हुक के नियम के संकेतन के साथ परिणामी सूत्र की तुलना करने से पता चलता है

परिणाम हमें मिलता है

इस अभिव्यक्ति की तुलना हुक के आयतन नियम (7) से करने पर हम परिणाम पर पहुंचते हैं

यांत्रिक विशेषताएं इ, , जीऔर कोविभिन्न प्रकार के भार के तहत परीक्षण नमूनों से प्रयोगात्मक डेटा को संसाधित करने के बाद पाए जाते हैं। भौतिक दृष्टि से ये सभी विशेषताएँ नकारात्मक नहीं हो सकतीं। इसके अलावा, अंतिम अभिव्यक्ति से यह पता चलता है कि एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए पॉइसन का अनुपात 1/2 से अधिक नहीं है। इस प्रकार, हम एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लोचदार स्थिरांक के लिए निम्नलिखित प्रतिबंध प्राप्त करते हैं:

सीमा मूल्य सीमा मूल्य की ओर ले जाता है , जो एक असंपीड्य पदार्थ (at) से मेल खाता है। निष्कर्ष में, लोच संबंध (5) से हम तनाव को विरूपण के रूप में व्यक्त करते हैं। आइए पहले संबंध (5) को फॉर्म में लिखें

समानता (9) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा

और के लिए समान संबंध निकाले जा सकते हैं। परिणाम हमें मिलता है

यहां हम अपरूपण मापांक के लिए संबंध (8) का उपयोग करते हैं। इसके अलावा पदनाम

लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा

आइए पहले प्राथमिक आयतन पर विचार करें dV=dxdydzएकअक्षीय तनाव की स्थिति में (चित्र 1)। साइट को मानसिक रूप से ठीक करें एक्स=0(चित्र 3)। विपरीत सतह पर एक बल कार्य करता है . यह बल विस्थापन पर कार्य करता है . जब वोल्टेज शून्य स्तर से मान तक बढ़ जाता है हुक के नियम के कारण संबंधित विकृति भी शून्य से मान तक बढ़ जाती है , और कार्य चित्र में छायांकित आकृति के समानुपाती है। 4 वर्ग: . यदि हम गतिज ऊर्जा और थर्मल, विद्युत चुम्बकीय और अन्य घटनाओं से जुड़े नुकसान की उपेक्षा करते हैं, तो, ऊर्जा के संरक्षण के नियम के कारण, किया गया कार्य बदल जाएगा संभावित ऊर्जा,विरूपण के दौरान संचित: . मान Ф= डीयू/डीवीबुलाया विरूपण की विशिष्ट संभावित ऊर्जा,किसी पिंड के एक इकाई आयतन में संचित स्थितिज ऊर्जा का अर्थ होना। एकअक्षीय तनाव स्थिति के मामले में