Deformazioni e movimenti. La legge di Hooke

La legge di Hooke fu scoperta nel XVII secolo dall'inglese Robert Hooke. Questa scoperta sull'allungamento di una molla è una delle leggi della teoria dell'elasticità e svolge un ruolo importante nella scienza e nella tecnologia.

Definizione e formula della legge di Hooke

La formulazione di questa legge è la seguente: la forza elastica che appare al momento della deformazione del corpo è proporzionale all'allungamento del corpo ed è diretta in modo opposto al movimento delle particelle di questo corpo rispetto ad altre particelle durante la deformazione.

La notazione matematica della legge è la seguente:

Riso. 1. Formula della legge di Hooke

Dove Fupr– di conseguenza, la forza elastica, X– allungamento del corpo (la distanza di cui cambia la lunghezza originaria del corpo), e K– coefficiente di proporzionalità, detto rigidità del corpo. La forza si misura in Newton, mentre l'allungamento di un corpo si misura in metri.

Per rivelare il significato fisico della rigidità, è necessario sostituire l'unità in cui viene misurato l'allungamento nella formula della legge di Hooke - 1 m, avendo precedentemente ottenuto un'espressione per k.

Riso. 2. Formula della rigidità corporea

Questa formula mostra che la rigidezza di un corpo è numericamente uguale alla forza elastica che si manifesta nel corpo (molla) quando viene deformato di 1 m. È noto che la rigidezza di una molla dipende dalla sua forma, dimensione e dal materiale da cui è composto il corpo.

Forza elastica

Ora che sappiamo quale formula esprime la legge di Hooke, è necessario comprenderne il valore fondamentale. La grandezza principale è la forza elastica. Appare in un determinato momento in cui il corpo inizia a deformarsi, ad esempio quando una molla viene compressa o allungata. È diretto nella direzione opposta alla gravità. Quando la forza elastica e la forza di gravità che agiscono sul corpo diventano uguali, il sostegno ed il corpo si fermano.

La deformazione è un cambiamento irreversibile che si verifica nelle dimensioni del corpo e nella sua forma. Sono associati al movimento delle particelle l'una rispetto all'altra. Se una persona si siede su una sedia morbida, la sedia si deformerà, cioè le sue caratteristiche cambieranno. È disponibile in diverse tipologie: flessione, allungamento, compressione, taglio, torsione.

Poiché la forza elastica è in origine correlata alle forze elettromagnetiche, dovresti sapere che essa nasce dal fatto che le molecole e gli atomi - le particelle più piccole che compongono tutti i corpi - si attraggono e si respingono. Se la distanza tra le particelle è molto piccola, queste vengono influenzate dalla forza repulsiva. Se questa distanza aumenta, la forza di attrazione agirà su di loro. Pertanto, la differenza tra forze attrattive e repulsive si manifesta nelle forze elastiche.

La forza elastica comprende la forza di reazione al suolo e il peso corporeo. La forza della reazione è di particolare interesse. Questa è la forza che agisce su un corpo quando è posizionato su una qualsiasi superficie. Se il corpo è sospeso, la forza che agisce su di esso è chiamata forza di tensione del filo.

Caratteristiche delle forze elastiche

Come abbiamo già scoperto, la forza elastica si manifesta durante la deformazione, ed è finalizzata a ripristinare le forme e le dimensioni originali rigorosamente perpendicolari alla superficie deformata. Anche le forze elastiche hanno una serie di caratteristiche.

• sorgono durante la deformazione;
• appaiono simultaneamente in due corpi deformabili;
• sono perpendicolari alla superficie rispetto alla quale il corpo è deformato.
• sono opposti nella direzione allo spostamento delle particelle corporee.

Applicazione della legge nella pratica

La legge di Hooke si applica sia ai dispositivi tecnici e ad alta tecnologia, sia alla natura stessa. Ad esempio, le forze elastiche si trovano nei meccanismi degli orologi, negli ammortizzatori dei trasporti, nelle corde, negli elastici e persino nelle ossa umane. Il principio della legge di Hooke è alla base del dinamometro, un dispositivo utilizzato per misurare la forza.

Ministero dell'Istruzione della Repubblica Autonoma di Crimea

Tauride National University prende il nome. Vernadsky

Studio della legge fisica

LEGGE DI HOOKE

Completato da: studente del 1° anno

Facoltà di Fisica gr. F-111

Potapov Evgenij

Simferopol-2010

Piano:

La connessione tra quali fenomeni o quantità è espressa dalla legge.

Dichiarazione della legge

Espressione matematica della legge.

Come è stata scoperta la legge: sulla base di dati sperimentali o teoricamente?

Fatti sperimentati sulla base dei quali è stata formulata la legge.

Esperimenti che confermano la validità della legge formulata sulla base della teoria.

Esempi di utilizzo della legge e presa in considerazione degli effetti della legge nella pratica.

Letteratura.

La connessione tra quali fenomeni o quantità è espressa dalla legge:

La legge di Hooke mette in relazione fenomeni come lo stress e la deformazione di un solido, il modulo elastico e l'allungamento. Il modulo della forza elastica che si genera durante la deformazione di un corpo è proporzionale al suo allungamento. L'allungamento è una caratteristica della deformabilità di un materiale, valutata dall'aumento della lunghezza di un campione di questo materiale quando allungato. La forza elastica è una forza che si verifica durante la deformazione di un corpo e si oppone a questa deformazione. Lo stress è una misura delle forze interne che si presentano in un corpo deformabile sotto l'influenza di influenze esterne. La deformazione è un cambiamento nella posizione relativa delle particelle di un corpo associato al loro movimento l'uno rispetto all'altro. Questi concetti sono legati dal cosiddetto coefficiente di rigidezza. Dipende dalle proprietà elastiche del materiale e dalle dimensioni del corpo.

Dichiarazione della legge:

La legge di Hooke è un'equazione della teoria dell'elasticità che mette in relazione lo stress e la deformazione di un mezzo elastico.

La formulazione della legge è che la forza elastica è direttamente proporzionale alla deformazione.

Espressione matematica della legge:

Per una barra di trazione sottile, la legge di Hooke ha la forma:

Qui F forza di tensione dell'asta, Δ l- il suo allungamento (compressione), e K chiamato coefficiente di elasticità(o rigidità). Il segno meno nell'equazione indica che la forza di tensione è sempre diretta nella direzione opposta alla deformazione.

Se inserisci l'allungamento relativo

e sollecitazione normale nella sezione trasversale

allora la legge di Hooke sarà scritta così

In questa forma è valido per qualsiasi piccolo volume di materia.

Nel caso generale, tensione e deformazione sono tensori di secondo rango nello spazio tridimensionale (hanno 9 componenti ciascuno). Il tensore delle costanti elastiche che li collega è un tensore del quarto rango C ijkl e contiene 81 coefficienti. A causa della simmetria del tensore C ijkl, così come i tensori di sforzo e deformazione, solo 21 costanti sono indipendenti. La legge di Hooke è simile a questa:

dove σ ij- tensore degli sforzi, - tensore delle deformazioni. Per un materiale isotropo, il tensore C ijkl contiene solo due coefficienti indipendenti.

Come è stata scoperta la legge: sulla base di dati sperimentali o teoricamente:

La legge fu scoperta nel 1660 dallo scienziato inglese Robert Hooke (Hook) sulla base di osservazioni ed esperimenti. La scoperta, come afferma Hooke nella sua opera “De potentia restitutiva”, pubblicata nel 1678, era stata fatta da lui 18 anni prima, e nel 1676 fu inserita in un altro dei suoi libri con il pretesto dell'anagramma “ceiiinosssttuv”, che significa “Ut tensio sic vis”. Secondo la spiegazione dell'autore, la legge di proporzionalità di cui sopra si applica non solo ai metalli, ma anche al legno, alle pietre, al corno, alle ossa, al vetro, alla seta, ai capelli, ecc.

Fatti sperimentati sulla base dei quali è stata formulata la legge:

La storia tace su questo...

Esperimenti che confermano la validità della legge formulata sulla base della teoria:

La legge è formulata sulla base di dati sperimentali. Infatti, quando si allunga un corpo (filo) con un certo coefficiente di rigidezza K ad una distanza Δ io, quindi il loro prodotto sarà uguale in grandezza alla forza che allunga il corpo (filo). Questa relazione, tuttavia, sarà vera non per tutte le deformazioni, ma per quelle piccole. Con grandi deformazioni, la legge di Hooke cessa di applicarsi e il corpo collassa.

Esempi di utilizzo della legge e presa in considerazione degli effetti della legge nella pratica:

Come segue dalla legge di Hooke, l'allungamento di una molla può essere utilizzato per giudicare la forza che agisce su di essa. Questo fatto viene utilizzato per misurare le forze utilizzando un dinamometro, una molla con una scala lineare calibrata per diversi valori di forza.

Letteratura.

1. Risorse Internet: - Sito web Wikipedia (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. libro di testo di fisica Peryshkin A.V. 9° grado

3. libro di testo di fisica V.A. Kasyanov 10a elementare

4. lezioni di meccanica Ryabushkin D.S.

Quando un'asta viene allungata e compressa, la sua lunghezza e le dimensioni della sezione trasversale cambiano. Se selezioni mentalmente da un'asta in uno stato indeformato un elemento di lunghezza dx, quindi dopo la deformazione la sua lunghezza sarà uguale a dx ((Fig. 3.6). In questo caso, l'allungamento assoluto nella direzione dell'asse OH sarà uguale

e la relativa deformazione lineare esè determinato dall'uguaglianza

Perché l'asse OH coincide con l'asse dell'asta lungo il quale agiscono i carichi esterni, chiameremo deformazione es deformazione longitudinale, per la quale ometteremo ulteriormente l'indice. Le deformazioni in direzioni perpendicolari all'asse sono chiamate deformazioni trasversali. Se indichiamo con B dimensione caratteristica della sezione trasversale (Fig. 3.6), quindi la deformazione trasversale è determinata dalla relazione

Le deformazioni lineari relative sono quantità adimensionali. È stato stabilito che le deformazioni trasversali e longitudinali durante la tensione centrale e la compressione dell'asta sono correlate tra loro dalla relazione

Si chiama la quantità v inclusa in questa uguaglianza rapporto di Poisson o coefficiente di deformazione trasversale. Questo coefficiente è una delle principali costanti elastiche del materiale e caratterizza la sua capacità di subire deformazioni trasversali. Per ciascun materiale si determina da un esperimento di trazione o compressione (vedi § 3.5) e si calcola utilizzando la formula

Come segue dall'uguaglianza (3.6), le deformazioni longitudinali e trasversali hanno sempre segni opposti, il che conferma il fatto ovvio: durante la tensione, le dimensioni della sezione trasversale diminuiscono e durante la compressione aumentano.

Il rapporto di Poisson è diverso per materiali diversi. Per i materiali isotropi può assumere valori compresi tra 0 e 0,5. Ad esempio, per il legno di balsa il rapporto di Poisson è vicino allo zero e per la gomma è vicino a 0,5. Per molti metalli a temperature normali, il rapporto di Poisson è compreso tra 0,25+0,35.

Come è stato stabilito in numerosi esperimenti, per la maggior parte dei materiali strutturali a piccole deformazioni esiste una relazione lineare tra tensioni e deformazioni

Questa legge di proporzionalità fu stabilita per la prima volta dallo scienziato inglese Robert Hooke e si chiama La legge di Hooke.

La costante inclusa nella legge di Hooke E chiamato modulo di elasticità. Il modulo elastico è la seconda principale costante elastica di un materiale e ne caratterizza la rigidità. Poiché le deformazioni sono quantità adimensionali, dalla (3.7) segue che il modulo elastico ha la dimensione dello sforzo.

Nella tabella La tabella 3.1 mostra i valori del modulo elastico e del rapporto di Poisson per vari materiali.

Quando si progettano e si calcolano le strutture, oltre al calcolo delle sollecitazioni, è anche necessario determinare gli spostamenti dei singoli punti e nodi delle strutture. Consideriamo un metodo per calcolare gli spostamenti durante la tensione centrale e la compressione delle aste.

Allungamento assoluto della lunghezza dell'elemento dx(Fig. 3.6) secondo la formula (3.5) è uguale a

Tabella 3.1

Nome del materiale	Modulo di elasticità, MPa	Coefficiente Poisson
Acciaio al carbonio
Leghe di alluminio
Leghe di titanio
	(1.15-s-1.6) 10 5
lungo il grano	(0,1 ^ 0,12) 10 5
attraverso il grano	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
Muratura	(0,027 +0,03)-10 5
SVAM in fibra di vetro
Testolite	(0,07 + 0,13)-10 5
Gomma su gomma

Integrando questa espressione nell'intervallo da 0 a x, otteniamo

Dove loro) - spostamento assiale di una sezione arbitraria (Fig. 3.7), e C=u( 0) - spostamento assiale del tratto iniziale x = 0. Se questa sezione è fissa, allora u(0) = 0 e lo spostamento di una sezione arbitraria è uguale a

L'allungamento o l'accorciamento dell'asta è pari allo spostamento assiale della sua estremità libera (Fig. 3.7), il cui valore si ottiene dalla (3.8), prendendo x = 1:

Sostituendo l'espressione per deformazione nella formula (3.8)? dalla legge di Hooke (3.7), si ottiene

Per un'asta realizzata con un materiale a modulo elastico costante E i movimenti assiali sono determinati dalla formula

L'integrale incluso in questa uguaglianza può essere calcolato in due modi. Il primo metodo consiste nel scrivere la funzione in modo analitico OH) e successiva integrazione. Il secondo metodo si basa sul fatto che l'integrale in esame è numericamente uguale all'area del diagramma a nella sezione . Presentazione della designazione

Consideriamo casi particolari. Per una canna tesa da una forza concentrata R(riso. 3.3, a), forza longitudinale./V è costante lungo la lunghezza ed è uguale a R. Anche le tensioni a secondo (3.4) sono costanti e uguali

Allora dalla (3.10) otteniamo

Da questa formula segue che se le sollecitazioni su una certa sezione dell'asta sono costanti, allora gli spostamenti cambiano secondo una legge lineare. Sostituendo nell'ultima formula x = 1, troviamo l'allungamento dell'asta:

Lavoro EF chiamato rigidità dell'asta in tensione e compressione. Maggiore è questo valore, minore sarà l'allungamento o l'accorciamento dell'asta.

Consideriamo un'asta sottoposta all'azione di un carico uniformemente distribuito (Fig. 3.8). La forza longitudinale in una sezione arbitraria situata a una distanza x dal fissaggio è uguale a

Dividendo N SU F, otteniamo la formula per le tensioni

Sostituendo questa espressione nella (3.10) e integrando, si trova

Lo spostamento maggiore, pari all'allungamento dell'intera asta, si ottiene sostituendo x = / nella (3.13):

Dalle formule (3.12) e (3.13) è chiaro che se le tensioni dipendono linearmente da x, allora gli spostamenti cambiano secondo la legge di una parabola quadrata. Diagrammi N, circa e E mostrato in Fig. 3.8.

Funzioni di connessione di dipendenza differenziale generale loro) e a(x), possono essere ottenuti dalla relazione (3.5). Sostituendo e dalla legge di Hooke (3.7) in questa relazione, otteniamo

Da questa dipendenza derivano, in particolare, gli schemi di cambiamento della funzione osservati negli esempi discussi sopra loro).

Inoltre, si può notare che se in qualsiasi sezione le sollecitazioni vanno a zero, allora nel diagramma E potrebbe esserci un estremo in questa sezione.

Ad esempio, costruiamo un diagramma E per l'asta mostrata in Fig. 3.2, mettendo E- 104MPa. Calcolo dell'area di un appezzamento O per i diversi ambiti troviamo:

sezione x = 1 m:

sezione x = 3 m:

sezione x = 5 m:

Nella sezione superiore del diagramma dell'asta Eè una parabola quadrata (Fig. 3.2, e). In questo caso nella sezione x = 1 m c'è un estremo. Nella sezione inferiore, la natura del diagramma è lineare.

L'allungamento totale dell'asta, che in questo caso è pari a

può essere calcolato utilizzando le formule (3.11) e (3.14). Poiché la sezione inferiore dell'asta (vedi Fig. 3.2, UN) allungato con la forza R ( la sua estensione secondo la (3.11) è pari a

Azione della forza R ( viene trasmesso anche alla sezione superiore della canna. Inoltre, è compresso con la forza R2 ed è allungato da un carico uniformemente distribuito Q. In base a ciò, la variazione della sua lunghezza viene calcolata dalla formula

Sommando i valori di A/ e A/ 2, otteniamo lo stesso risultato riportato sopra.

In conclusione, va notato che, nonostante il piccolo spostamento e allungamento (accorciamento) delle aste durante la tensione e la compressione, essi non possono essere trascurati. La capacità di calcolare queste quantità è importante in molti problemi tecnologici (ad esempio durante l'installazione di strutture), nonché per risolvere problemi staticamente indeterminati.

Come sapete, la fisica studia tutte le leggi della natura: dai principi più semplici ai più generali delle scienze naturali. Anche là dove sembra che la fisica non sia in grado di comprendere, essa gioca comunque un ruolo primario, e ogni più piccola legge, ogni principio, nulla le sfugge.

In contatto con

È la fisica la base dei fondamenti; è questa che sta all'origine di tutte le scienze.

Fisica studia l'interazione di tutti i corpi, sia paradossalmente piccolo che incredibilmente grande. La fisica moderna studia attivamente non solo corpi piccoli, ma ipotetici, e anche questo fa luce sull'essenza dell'universo.

La fisica è divisa in sezioni, questo semplifica non solo la scienza stessa e la sua comprensione, ma anche la metodologia di studio. La meccanica si occupa del movimento dei corpi e dell'interazione dei corpi in movimento, la termodinamica dei processi termici, l'elettrodinamica dei processi elettrici.

Perché la meccanica dovrebbe studiare la deformazione?

Quando si parla di compressione o tensione bisognerebbe porsi la domanda: quale branca della fisica dovrebbe studiare questo processo? Con forti distorsioni si può rilasciare calore, forse la termodinamica dovrebbe occuparsi di questi processi? A volte quando i liquidi vengono compressi, iniziano a bollire e quando i gas vengono compressi si formano liquidi? Quindi, l’idrodinamica dovrebbe comprendere la deformazione? O teoria cinetica molecolare?

Tutto dipende sulla forza di deformazione, sul suo grado. Se il mezzo deformabile (materiale compresso o allungato) lo consente e la compressione è piccola, ha senso considerare questo processo come il movimento di alcuni punti del corpo rispetto ad altri.

E poiché la questione è puramente correlata, vuol dire che se ne occuperanno i meccanici.

La legge di Hooke e le condizioni per il suo adempimento

Nel 1660, il famoso scienziato inglese Robert Hooke scoprì un fenomeno che può essere utilizzato per descrivere meccanicamente il processo di deformazione.

Per capire a quali condizioni è soddisfatta la legge di Hooke, Limitiamoci a due parametri:

• Mercoledì;
• forza.

Esistono mezzi (ad esempio gas, liquidi, in particolare liquidi viscosi prossimi allo stato solido o, al contrario, liquidi molto fluidi) per i quali è impossibile descrivere meccanicamente il processo. Viceversa, ci sono ambienti in cui, con forze sufficientemente grandi, la meccanica smette di “lavorare”.

Importante! Alla domanda: “A quali condizioni è vera la legge di Hooke?”, si può dare una risposta definitiva: “A piccole deformazioni”.

Legge di Hooke, definizione: La deformazione che avviene in un corpo è direttamente proporzionale alla forza che provoca quella deformazione.

Naturalmente questa definizione implica che:

• la compressione o l'allungamento sono piccoli;
• oggetto elastico;
• è costituito da un materiale in cui non sono presenti processi non lineari dovuti a compressione o tensione.

La legge di Hooke in forma matematica

La formulazione di Hooke, da noi citata sopra, permette di scriverla nella forma seguente:

dove è la variazione della lunghezza del corpo dovuta a compressione o allungamento, F è la forza applicata al corpo e ne provoca la deformazione (forza elastica), k è il coefficiente di elasticità, misurato in N/m.

Va ricordato che la legge di Hooke valido solo per piccoli tratti.

Notiamo anche che ha lo stesso aspetto quando allungato e compresso. Considerando che la forza è una grandezza vettoriale e ha una direzione, nel caso della compressione sarà più precisa la seguente formula:

Ma ancora una volta, tutto dipende da dove sarà diretto l'asse rispetto al quale stai misurando.

Qual è la differenza fondamentale tra compressione ed estensione? Niente se è insignificante.

Il grado di applicabilità può essere considerato come segue:

Prestiamo attenzione al grafico. Come vediamo, con piccoli tratti (il primo quarto delle coordinate), per lungo tempo la forza con la coordinata ha un rapporto lineare (linea rossa), ma poi il rapporto reale (linea tratteggiata) diventa non lineare, e la legge cessa per essere vero. In pratica, ciò si riflette in uno stiramento così forte che la molla smette di tornare nella sua posizione originale e perde le sue proprietà. Con ancora più allungamento si verifica una frattura e la struttura crolla Materiale.

Con piccole compressioni (terzo quarto delle coordinate), per lungo tempo la forza con la coordinata ha anche un rapporto lineare (linea rossa), ma poi il rapporto reale (linea tratteggiata) diventa non lineare, e tutto smette di funzionare di nuovo. In pratica, ciò si traduce in una compressione così forte che il calore inizia a essere rilasciato e la sorgente perde le sue proprietà. Con una compressione ancora maggiore, le spire della molla “si attaccano insieme” e questa inizia a deformarsi verticalmente, per poi sciogliersi completamente.

Come puoi vedere, la formula che esprime la legge permette di trovare la forza, conoscendo la variazione di lunghezza del corpo, oppure, conoscendo la forza elastica, misurare la variazione di lunghezza:

Inoltre, in alcuni casi, puoi trovare il coefficiente di elasticità. Per capire come viene fatto, considera un'attività di esempio:

Alla molla è collegato un dinamometro. È stato allungato applicando una forza di 20, grazie alla quale è diventato lungo 1 metro. Poi l'hanno rilasciata, hanno aspettato che le vibrazioni cessassero e lei è tornata al suo stato normale. In condizioni normali, la sua lunghezza era di 87,5 centimetri. Proviamo a scoprire di che materiale è fatta la molla.

Troviamo il valore numerico della deformazione della molla:

Da qui possiamo esprimere il valore del coefficiente:

Guardando la tabella, possiamo scoprire che questo indicatore corrisponde all'acciaio per molle.

Problemi con il coefficiente di elasticità

La fisica, come sappiamo, è una scienza molto precisa, del resto, è così precisa da aver creato intere scienze applicate che misurano gli errori; Un modello di incrollabile precisione, non può permettersi di essere goffa.

La pratica dimostra che la dipendenza lineare che abbiamo considerato non è altro che Legge di Hooke per un'asta sottile e resistente alla trazione. Solo eccezionalmente può essere utilizzato per le molle, ma anche questo non è desiderabile.

Si scopre che il coefficiente k è un valore variabile che dipende non solo dal materiale di cui è fatto il corpo, ma anche dal diametro e dalle sue dimensioni lineari.

Per questo motivo le nostre conclusioni necessitano di chiarimenti e sviluppi, perché altrimenti la formula:

non può essere definita altro che una dipendenza tra tre variabili.

Modulo di Young

Proviamo a capire il coefficiente di elasticità. Questo parametro, come abbiamo scoperto, dipende da tre quantità:

• materiale (che ci sta abbastanza bene);
• lunghezza L (che ne indica la dipendenza);
• le zone.

Importante! Pertanto, se riusciamo a “separare” in qualche modo la lunghezza L e l'area S dal coefficiente, otterremo un coefficiente che dipende completamente dal materiale.

Cosa sappiamo:

• maggiore è la sezione trasversale del corpo, maggiore è il coefficiente k e la dipendenza è lineare;
• maggiore è la lunghezza del corpo, minore è il coefficiente k e la dipendenza è inversamente proporzionale.

Ciò significa che possiamo scrivere il coefficiente di elasticità in questo modo:

dove E è un nuovo coefficiente, che ora dipende appunto esclusivamente dal tipo di materiale.

Introduciamo il concetto di “allungamento relativo”:

. 

Conclusione

Formuliamo la legge di Hooke per tensione e compressione: Per piccole compressioni, lo stress normale è direttamente proporzionale all'allungamento.

Il coefficiente E è chiamato modulo di Young e dipende esclusivamente dal materiale.