Закон звуку визначення та формула. Узагальнений закон звуку До якого значення напруги справедливий закон звуку

Розглянуті вище напружений та деформований стан є складовими єдиної фізичної сутності - напружено-деформованого стану в точці тіла.

При вирішенні конкретних завдань необхідно брати до уваги фізичні співвідношення, що існують між напругами та деформаціями. У статично визначних задачах є можливість знайти напруги без фізичних співвідношень, використовуючи лише рівняння рівноваги. У статично невизначених завданнях такої можливості немає.

Залежність між напругою та деформаціями, як правило, встановлюється за допомогою експериментів, і її складність залежить від властивостей матеріалу. Для широко застосовуваних практично ізотропних матеріалів використовуються лінійні залежності, з допомогою яких вдається проводити розрахунки за зміни напруг у досить широких межах.

Проаналізуємо залежність між компонентами напруженого та деформованого станів у точці тіла, використовуючи принцип незалежності дії сил. З цією метою виріжемо з твердого тіла елементарний паралелепіпед (рис. 10.10).

Мал. 10.10.

Розглянемо випадок впливу на елемент лише дотичної напруги т гу/ (рис. 10.10, а).У цьому випадку прямий кут змінюється тільки в площинах, паралельних площині ху.Аналогічно можемо розглянути кутові переміщення, що виникають від дії дотичних напруг. x yzі x zv. У припущенні про те, що матеріал ізотропний і між дотичними напругами та кутовими переміщеннями існує лінійна залежність, приходимо до співвідношень

де G -модуль пружності другого роду.

Проаналізуємо переміщення, що викликаються дією нормальних напруг у напрямку осі Ох(Рис. 10.10, б).Обумовлена ​​цією напругою деформація у бік осі Ох дорівнює ct v /?, а бік двох інших осей переміщення визначаються з допомогою коефіцієнта Пуассона vза формулою -vg v/?.Аналогічно визначаються деформації у напрямку осі Охвід а ута а 2 . Остаточно підсумовуванням деформацій у всіх напрямках отримаємо

При зміні температури тіла до правих частин співвідношень (10.38) слід додати величини а At,де At -зміна температури тіла; а – коефіцієнт лінійного температурного розширення ізотропного матеріалу. Щодо формул (10.37), то вони залишаться без змін.

Співвідношення (10.37) і (10.38) звуться узагальненого закону Гукадля випадку лінійно-пружного ізотропного матеріалу.

При проведенні розрахунків корисними виявляються і зворотні співвідношення:

Зазначимо, що з виведенні фізичних співвідношень ми негласно припускали, що напрями основних напруг і основних деформацій збігаються друг з одним. Дане припущення зветься умови співвісності тензорів напруг та деформацій.

У разі анізотропних матеріалів, властивості яких у різних напрямках відрізняються, умова співвісності не виконується. Для пружних анізотропних матеріалів узагальнений закон Гука записується так:

Тут a t -- Постійні пружності, що виражають властивості матеріалу. Введемо позначення

Тоді співвідношення (10.40) можемо подати у векторно-матричному вигляді:

де (а) і (е) - вектори, відповідно, напруг та деформацій; [А]матриця пружних властивостей матеріалу.

Для ізотропного лінійно-пружного матеріалу з трьох постійних Е, Gі v, як ми встановили раніше, незалежними є лише дві. Матриця пружних властивостей такого матеріалу виглядає так:

При записі узагальненого закону Гука для анізотропного матеріалу (10:40) використано 36 констант. Встановимо, скільки із цих величин є незалежними. Розглянемо два напружені стани (рис. 10.11).

Мал. 10.11.

Подовження елемента у напрямку у, обумовлене напруженим станом першого напряму (рис. 10.11, а),одно dA vl/= a 2 p x dy.Аналогічно визначається подовження елемента у першому напрямку, обумовлене другим напруженим станом (рис. 10.11 б): dA f/x = x p y dx.

Відповідно до принципу взаємності робіт

звідки випливає, що |2 = а 21 .

Аналогічним чином можна отримати ще 14 рівностей a:j= a jt ,i,j = 1, 2,..., 6, i*j.Матриця податливості матеріалу Ає симетричною. Таким чином, для анізотропних матеріалів із 36 характеристик незалежними є лише 21.

При аналізі композитних матеріалів доводиться мати справу з окремими випадками анізотропії. Поширеним є випадок ортотропного матеріалу,характеризується симетрією щодо трьох взаємно перпендикулярних осей. Прикладом такої анізотропії є деревина. Пружні властивості ортотропного середовища описуються дев'ятьма незалежними постійними:

де за якістю симетрії

Пружні постійні композитні матеріали в більшості випадків визначаються експериментально.

• Запис напруг і деформацій у вигляді векторних величин має формальний характер і вводиться для зручності.

Спостереження показують, що з більшості пружних тіл, як-от сталь, бронза, дерево та інших., величини деформацій пропорційні величинам діючих сил. Типовий приклад, що пояснює цю властивість, являють пружинні ваги, у яких подовження пружини пропорційно діючою силою. Це видно з того, що шкала поділів у таких ваг рівномірна. Як загальна властивість пружних тіл закон пропорційності між силою та деформацією був уперше сформульований Р. Гуком у 1660 р. та опублікований у 1678 р. у творі «De potentia restitutiva». У сучасному формулюванні цього закону розглядають не сили та переміщення точок їх застосування, а напругу та деформацію.

Так, для чистого розтягування вважають:

Тут - відносне подовження будь-якого відрізка, взятого у напрямі розтягування. Наприклад, якщо ребра зображені на рис. 11 призми до застосування навантаження були а, b і з, як показано на кресленні, а після деформації вони будуть відповідно , тоді .

Постійна Е, що має розмірність напруги, називається модулем пружності або модулем Юнга.

Розтягнення елементів, паралельних діючим напругою, супроводжується скороченням перпендикулярних елементів, тобто зменшенням поперечних розмірів стрижня (на кресленні - розміри). Відносна поперечна деформація

буде величиною негативною. Виявляється, що поздовжня та поперечна деформації в пружному тілі пов'язані постійним ставленням:

Безрозмірна величина v, постійна кожному за матеріалу, називається коефіцієнтом поперечного стиску чи коефіцієнтом Пуассона. Сам Пуассон, який виходив з теоретичних міркувань, які виявилися згодом невірними, вважав, що для всіх матеріалів (1829). Насправді значення цього коефіцієнта різні. Так, для сталі

Замінюючи в останній формулі виразом отримаємо:

Закон Гука не є точним законом. Для сталі відхилення від пропорційності між незначними, тоді як чавун або різанина явно цьому закону не підкоряються. Для них причому може бути апроксимована лінійною функцією хіба лише в грубому наближенні.

Протягом тривалого часу опір матеріалів займалося лише матеріалами, що підкоряються закону Гука, і застосування формул опору матеріалів до інших тіл можна було робити лише з великою натяжкою. Нині нелінійні закони пружності починають вивчатися і застосовуватися до вирішення конкретних завдань.

Закон Гука було відкрито XVII столітті англійцем Робертом Гуком. Це відкриття про розтягнення пружини є одним із законів теорії пружності та виконує важливу роль у науці та техніці.

Визначення та формула закону Гука

Формулювання цього закону виглядає наступним чином: сила пружності, яка з'являється в момент деформації тіла, пропорційна подовженню тіла та спрямована протилежно до руху частинок цього тіла щодо інших частинок при деформації.

Математичний запис закону виглядає так:

Мал. 1. Формула закону Гука

де Fпр- відповідно сила пружності, x- подовження тіла (відстань, на яку змінюється вихідна довжина тіла), а k- Коефіцієнт пропорційності, званий жорсткістю тіла. Сила вимірюється у Ньютонах, а подовження тіла – за метри.

Для розкриття фізичного сенсу жорсткості, потрібно у формулу для закону Гука підставити одиницю, у якій вимірюється подовження – 1 м, наперед отримавши вираз для k.

Мал. 2. Формула жорсткості тіла

Ця формула показує, що жорсткість тіла чисельно дорівнює силі пружності, що виникає в тілі (пружині), коли воно деформується на 1 м. Відомо, що жорсткість пружини залежить від її форми, розміру та матеріалу, з якого виготовлено це тіло.

Сила пружності

Тепер коли відомо, яка формула виражає закон Гука, необхідно розібратися в його основній величині. Основною величиною є сила пружності. Вона з'являється у певний момент, коли тіло починає деформуватися, наприклад, коли пружина стискається чи розтягується. Вона спрямована у зворотний бік від сили тяжіння. Коли сила пружності та сила тяжіння, що діють на тіло, стають рівними, опора та тіло зупиняються.

Деформація – це незворотні зміни, що відбуваються з розмірами тіла та його формою. Вони пов'язані з переміщенням частинок щодо один одного. Якщо людина сяде у м'яке крісло, то з кріслом відбудеться деформація, тобто зміняться його характеристики. Вона буває різних типів: вигин, розтяг, стиск, зсув, кручення.

Так як сила пружності відноситься за своїм походженням до електромагнітних сил, слід знати, що виникає вона через те, що молекули та атоми – найменші частинки, з яких складаються всі тіла, притягуються один одному та відштовхуються один від одного. Якщо відстань між частинками дуже мала, отже, ними впливає сила відштовхування. Якщо ж цю відстань збільшити, то на них діятиме сила тяжіння. Таким чином, різниця сил тяжіння та сил відштовхування проявляється в силах пружності.

Сила пружності включає силу реакції опори і вагу тіла. Сила реакції становить особливий інтерес. Це така сила, що діє на тіло, коли його кладуть на якусь поверхню. Якщо ж тіло підвішене, то силу, що діє на нього, називають силою натягу нитки.

Особливості сил пружності

Як ми вже з'ясували, сила пружності виникає при деформації, і спрямована вона на відновлення початкових форм і розмірів строго перпендикулярно до поверхні, що деформується. У сил пружності також є низка особливостей.

• вони з'являються під час деформації;
• вони з'являються у двох тіл, що деформуються одночасно;
• вони знаходяться перпендикулярно поверхні, стосовно якої тіло деформується.
• вони протилежні у напрямку усунення частинок тіла.

Застосування закону практично

Закон Гука застосовується як у технічних та високотехнологічних пристроях, так і в самій природі. Наприклад, сили пружності зустрічаються в годинникових механізмах, амортизаторах на транспорті, канатах, гумках і навіть у людських кістках. Принцип закону Гука є основою динамометра – приладу, з допомогою якого вимірюють силу.

Законом Гуказазвичай називають лінійні співвідношення між компонентами деформацій та компонентами напруг.

Візьмемо елементарний прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним осям, навантажений нормальною напругою σ х, рівномірно розподіленим по двох протилежних гранях (рис. 1). При цьому σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.

До досягнення межі пропорційності відносне подовження дається формулою

де Емодуль пружності при розтягуванні. Для сталі Е = 2*10 5 МПатому деформації дуже малі і вимірюються у відсотках або в 1*10 5 (у тензометричних приладах, що вимірюють деформації).

Подовження елемента у напрямку осі хсупроводжується його звуженням у поперечному напрямку, що визначається компонентами деформацій

де μ - Константа, яка називається коефіцієнтом поперечного стиснення або коефіцієнтом Пуассона. Для сталі μ зазвичай приймається рівним 025-03.

Якщо аналізований елемент навантажений одночасно нормальними напругами σ x, σ y, σ z, рівномірно розподіленими за його межами, додаються деформації

Виробляючи накладення компонентів деформації, викликаних кожною з трьох напруг, отримаємо співвідношення

Ці співвідношення підтверджуються численними експериментами. Застосований метод накладанняабо суперпозиціїдля відшукання повних деформацій і напруг, викликаних декількома силами, є законним, поки деформації та напруги малі та лінійно залежать від прикладених сил. У таких випадках ми нехтуємо малими змінами розмірів тіла, що деформується, і малими переміщеннями точок застосування зовнішніх сил і засновуємо наші обчислення на початкових розмірах і початковій формі тіла.

Слід зазначити, що з дещо переміщень ще не випливає лінійність співвідношень між силами та деформаціями. Так, наприклад, у стислому силами Qстрижні, навантаженому додатково поперечною силою Рнавіть при малому прогині δ виникає додатковий момент М = Qδ, що робить завдання нелінійним. У таких випадках повні прогини не є лінійними функціями зусиль та не можуть бути отримані за допомогою простого накладання (суперпозиції).

Експериментально встановлено, що якщо дотичні напруги діють по всіх гранях елемента, спотворення відповідного кута залежить тільки від відповідних компонентів дотичної напруги.

Константа Gназивається модулем пружності при зсуві або модулем зсуву.

Загальний випадок деформації елемента від дії на нього трьох нормальних та трьох дотичних компонентів напруг можна отримати за допомогою накладання: на три лінійні деформації, що визначаються виразами (5.2а), накладаються три деформації зсуву, що визначаються співвідношеннями (5.2б). Рівняння (5.2а) та (5.2б) визначають зв'язок між компонентами деформацій та напруг і називаються узагальненим законом Гука. Покажемо тепер, що модуль зсуву Gвиражається через модуль пружності при розтягуванні Ета коефіцієнт Пуассона μ . Для цього розглянемо окремий випадок, коли σ х = σ , σ y = -σ і σ z = 0.

Виріжемо елемент abcdплощинами, паралельними осі zта нахиленими під кутом 45° до осей хі у(Рис. 3). Як випливає з умов рівноваги елемента 0 bс, нормальні напруження σ vна всіх гранях елемента abcdрівні нулю, а дотичні напруги рівні

Такий напружений стан називається чистим зрушенням. З рівнянь (5.2а) випливає, що

тобто подовження горизонтального елемента 0 cі скорочення вертикального елемента 0 b: ε y = -ε x.

Кут між гранями аbі bcзмінюється, та відповідну величину деформації зсуву γ можна знайти з трикутника 0 bс:

Звідси слідує що

Дія зовнішніх сил на тверде тіло призводить до виникнення у точках його обсягу напруг та деформацій. При цьому напружений стан у точці, зв'язок між напругами на різних майданчиках, що проходять через цю точку, визначаються рівняннями статики та не залежать від фізичних властивостей матеріалу. Деформований стан, зв'язок між переміщеннями та деформаціями встановлюються із залученням геометричних чи кінематичних міркувань і також не залежать від властивостей матеріалу. Для того щоб встановити зв'язок між напругою та деформаціями, необхідно враховувати реальні властивості матеріалу та умови навантаження. Математичні моделі, що описують співвідношення між напругами та деформаціями, розробляються на основі експериментальних даних. Ці моделі повинні з достатнім ступенем точності відображати реальні властивості матеріалів та умови навантаження.

Найбільш поширеними для конструкційних матеріалів є моделі пружності та пластичності. Пружність це властивість тіла змінювати форму і розміри під дією зовнішніх навантажень і відновлювати вихідну конфігурацію при знятті навантажень. Математично властивість пружності виявляється у встановленні взаємно однозначної функціональної залежності між компонентами тензора напруг і тензора деформацій. Властивість пружності відбиває як властивості матеріалів, а й умови навантаження. Для більшості конструкційних матеріалів властивість пружності проявляється при помірних значеннях зовнішніх сил, що призводять до малих деформацій, і при малих швидкостях навантаження, коли втрати енергії за рахунок температурних ефектів дуже малі. Матеріал називається лінійно-пружним, якщо компоненти тензора напруги і тензора деформацій пов'язані лінійними співвідношеннями.

При високих рівнях навантаження, коли в тілі виникають значні деформації, матеріал частково втрачає пружні властивості: при розвантаженні його початкові розміри і форма не відновлюються, а при повному знятті зовнішніх навантажень фіксуються залишкові деформації. В цьому випадку залежність між напругами та деформаціями перестає бути однозначною. Ця властивість матеріалу називається пластичністю.Залишкові деформації, що накопичуються в процесі пластичного деформування, називаються пластичними.

Високий рівень навантаження може викликати руйнування, тобто поділ тіла на частини.Тверді тіла, виконані з різних матеріалів, руйнуються за різної величини деформації. Руйнування має крихкий характер при малих деформаціях і відбувається, як правило, без помітних пластичних деформацій. Така руйнація характерна для чавуну, легованих сталей, бетону, скла, кераміки та деяких інших конструкційних матеріалів. Для маловуглецевих сталей, кольорових металів, пластмас характерний пластичний тип руйнування за наявності значних залишкових деформацій. Однак підрозділ матеріалів за характером руйнування на крихкі та пластичні вельми умовно, він зазвичай відноситься до деяких стандартних умов експлуатації. Один і той же матеріал може вести себе в залежності від умов (температура, характер навантажених, технологія виготовлення та ін) як тендітний або як пластичний. Наприклад, пластичні за нормальної температури матеріали руйнуються як крихкі за низьких температур. Тому правильніше говорити не про крихкі і пластичні матеріали, а про крихкий або пластичний стан матеріалу.

Нехай матеріал є лінійно-пружним та ізотропним. Розглянемо елементарний обсяг, що перебуває в умовах одновісного напруженого стану (рис. 1), так що тензор напруг має вигляд

При такому навантаженні відбувається збільшення розмірів у напрямку осі Ох,характеризується лінійною деформацією, яка пропорційна величині напруги

Рис.1.Одновісний напружений стан

Це співвідношення є математичним записом закону Гука,встановлює пропорційну залежність між напругою та відповідною лінійною деформацією при одновісному напруженому стані. Коефіцієнт пропорційності E називається модулем поздовжньої пружності чи модулем Юнга.Він має розмірність напруги.

Поряд із збільшенням розмірів у напрямку дії; ж напруги відбувається зменшення розмірів у двох ортогональних напрямках (рис. 1). Відповідні деформації позначимо через і , причому ці деформації негативні за позитивних і пропорційні :

При одночасному дії напруги по трьох ортогональних осях, коли відсутні дотичні напруги, для лінійно-пружного матеріалу справедливий принцип суперпозиції (накладання рішень):

З урахуванням формул (1 4 ) отримаємо

Дотичні напруження викликають кутові деформації, причому при малих деформаціях вони не впливають на зміну лінійних розмірів, а отже, на лінійні деформації. Тому вони справедливі також у разі довільного напруженого стану та виражають так званий узагальнений закон Гука.

Кутова деформація обумовлена ​​дотичною напругою, а деформації і відповідно напругами і. Між відповідними дотичними напругами та кутовими деформаціями для лінійно-пружного ізотропного тіла існують пропорційні залежності.

які виражають закон Гука при зсуві.Коефіцієнт пропорційності G називається модулем зсуву.Істотно, що нормальна напруга не впливає на кутові деформації, оскільки змінюються лише лінійні розміри відрізків, а не кути між ними (рис. 1).

Лінійна залежність існує також між середньою напругою (2.18), пропорційною першому інваріанту тензора напруг, і об'ємною деформацією (2.32), що збігається з першим інваріантом тензора деформацій:

Рис.2.Плоска деформація зсуву

Відповідний коефіцієнт пропорційності Доназивається об'ємним модулем пружності.

У формули (1 7) входять пружні характеристики матеріалу Е, , Gі До,визначальні його пружні властивості. Однак ці характеристики не є незалежними. Для ізотропного матеріалу незалежними пружними характеристиками є дві, як яких зазвичай вибираються модуль пружності Ета коефіцієнт Пуассона. Щоб висловити модуль зсуву Gчерез Еі , розглянемо плоску деформацію зсуву під впливом дотичних напруг (рис. 2). Для спрощення викладок використовуємо квадратний елемент зі стороною а.Обчислимо головні напруження , . Ця напруга діє на майданчиках, розташованих під кутом до вихідних майданчиків. З рис. 2 знайдемо зв'язок між лінійною деформацією у напрямку дії напруги та кутовою деформацією . Велика діагональ ромба, що характеризує деформацію, дорівнює

Для малих деформацій

З урахуванням цих співвідношень

До деформації ця діагональ мала розмір . Тоді матимемо

З узагальненого закону Гука (5) отримаємо

Порівняння отриманої формули із записом закону Гука при зрушенні (6) дає

У результаті отримаємо

Порівнюючи цей вислів з об'ємним законом Гука (7), приходимо до результату

Механічні характеристики Е, , Gі Дознаходяться після обробки експериментальних даних випробувань зразків різні види навантажень. З фізичного сенсу всі ці показники неможливо знайти негативними. Крім того, з останнього виразу випливає, що коефіцієнт Пуассон для ізотропного матеріалу не перевищує значення 1/2. Таким чином, отримуємо наступні обмеження для пружних постійних ізотропних матеріалів:

Граничне значення призводить до граничного значення , що відповідає стисканому матеріалу (при). На закінчення висловимо із співвідношень пружності (5) напруги через деформації. Запишемо перше із співвідношень (5) у вигляді

З використанням рівності (9) матимемо

Аналогічні співвідношення можна вивести для і. В результаті отримаємо

Тут використано співвідношення (8) для зсувного модуля. Крім того, введено позначення

ПОТЕНЦІЙНА ЕНЕРГІЯ ПРУГОЇ ДЕФОРМАЦІЇ

Розглянемо спочатку елементарний обсяг dV=dxdydzза умов одновісного напруженого стану (рис. 1). Подумки закріпимо майданчик х = 0(Рис. 3). На протилежний майданчик діє сила . Ця сила здійснює роботу на переміщенні . При збільшенні напруги від нульового рівня до значення відповідна деформація через закон Гука також збільшується від нуля до значення , а робота пропорційна заштрихованій на рис. 4 площі: . Якщо знехтувати кінетичною енергією та втратами, пов'язаними з тепловими, електромагнітними та іншими явищами, то в силу закону збереження енергії робота, що здійснюється, перейде в потенційну енергію,накопичується в процесі деформування: . Розмір Ф= dU/dVназивається питомою потенційною енергією деформації,що має сенс потенційної енергії, накопиченої в одиниці об'єму тіла. У разі одновісного напруженого стану