गतिज ऊर्जा प्रमेय क्या है? ऊर्जा - भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए सामग्री

1. किसी पिंड की गतिज ऊर्जा, पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के वर्ग के गुणनफल के बराबर होती है, जो आधे में विभाजित होती है।

2. गतिज ऊर्जा प्रमेय क्या है?

2. बल (परिणामी बल) का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

3. यदि किसी पिंड पर लगाया गया बल सकारात्मक कार्य करता है तो उसकी गतिज ऊर्जा कैसे बदल जाती है? नकारात्मक कार्य?

3. यदि किसी पिंड पर लगाया गया बल सकारात्मक कार्य करता है तो उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है और यदि बल नकारात्मक कार्य करता है तो उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।

4. क्या किसी पिंड के वेग वेक्टर की दिशा बदलने पर उसकी गतिज ऊर्जा बदल जाती है?

4. नहीं बदलता, क्योंकि सूत्र में हमारे पास V 2 है।

5. समान द्रव्यमान की दो गेंदें एक बहुत चिकनी सतह पर समान निरपेक्ष वेग से एक दूसरे की ओर लुढ़कती हैं। गेंदें टकराती हैं, एक क्षण के लिए रुकती हैं, और फिर उसी पूर्ण गति से विपरीत दिशाओं में चली जाती हैं। टक्कर से पहले, टक्कर के क्षण और उसके बाद उनकी कुल गतिज ऊर्जा क्या है?

5. टक्कर से पहले कुल गतिज ऊर्जा.

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संक्षिप्त समीक्षा

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किसी भौतिक बिंदु या बिंदु प्रणाली की यांत्रिक गति के परिवर्तन के दो मामले:

1. यांत्रिक गति को यांत्रिक गति के रूप में एक यांत्रिक प्रणाली से दूसरे में स्थानांतरित किया जाता है;
2. यांत्रिक गति पदार्थ की गति के दूसरे रूप (संभावित ऊर्जा, ऊष्मा, विद्युत आदि के रूप में) में बदल जाती है।

जब गति के किसी अन्य रूप में परिवर्तन के बिना यांत्रिक गति के परिवर्तन पर विचार किया जाता है, तो यांत्रिक गति का माप किसी भौतिक बिंदु या यांत्रिक प्रणाली की गति का वेक्टर होता है। इस मामले में बल का माप बल आवेग का वेक्टर है।

जब यांत्रिक गति पदार्थ की गति के दूसरे रूप में बदल जाती है, तो किसी भौतिक बिंदु या यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा यांत्रिक गति के माप के रूप में कार्य करती है। यांत्रिक गति को गति के दूसरे रूप में परिवर्तित करते समय बल की क्रिया का माप बल का कार्य है

गतिज ऊर्जा

गतिज ऊर्जा चलते समय किसी बाधा को दूर करने की शरीर की क्षमता है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है जो बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

गतिज ऊर्जा:

• अनुवादात्मक और घूर्णी दोनों आंदोलनों की विशेषताएँ;
• सिस्टम के बिंदुओं की गति की दिशा पर निर्भर नहीं करता है और इन दिशाओं में परिवर्तन की विशेषता नहीं बताता है;
• आंतरिक और बाह्य दोनों शक्तियों की कार्रवाई की विशेषता है।

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा

निकाय की गतिज ऊर्जा निकाय के पिंडों की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। गतिज ऊर्जा प्रणाली के पिंडों की गति के प्रकार पर निर्भर करती है।

विभिन्न प्रकार की गति के लिए किसी ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा का निर्धारण।

स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा
स्थानांतरीय गति के दौरान, शरीर की गतिज ऊर्जा बराबर होती है टी=एमवी 2 /2.

स्थानांतरीय गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप द्रव्यमान है।

किसी पिंड की घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा

किसी पिंड की घूर्णी गति के दौरान, गतिज ऊर्जा घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता के क्षण और उसके कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप जड़त्व आघूर्ण है।

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा उसके घूमने की दिशा पर निर्भर नहीं करती है।

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति की गतिज ऊर्जा

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति के साथ, गतिज ऊर्जा बराबर होती है

बल का कार्य

बल का कार्य किसी गति के दौरान किसी पिंड पर बल की कार्रवाई को दर्शाता है और एक गतिमान बिंदु के वेग मापांक में परिवर्तन को निर्धारित करता है।

बल का प्राथमिक कार्य

किसी बल के प्राथमिक कार्य को एक अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु की गति की दिशा में निर्देशित प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर बल के प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर होती है, और इस दिशा में निर्देशित बिंदु के अनंतिम विस्थापन के बराबर होती है। स्पर्शरेखा

अंतिम विस्थापन पर बल द्वारा किया गया कार्य

अंतिम विस्थापन पर किसी बल द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक खंडों पर उसके कार्य के योग के बराबर होता है।

अंतिम विस्थापन एम 1 एम 0 पर एक बल का कार्य इस विस्थापन के साथ प्रारंभिक कार्य के अभिन्न अंग के बराबर है।

विस्थापन एम 1 एम 2 पर एक बल के कार्य को आकृति के क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है, जो भुज अक्ष, वक्र और बिंदु एम 1 और एम 0 के अनुरूप निर्देशांक द्वारा सीमित है।

एसआई प्रणाली में बल और गतिज ऊर्जा के कार्य के माप की इकाई 1 (जे) है।

बल के कार्य के बारे में प्रमेय

प्रमेय 1. किसी निश्चित विस्थापन पर परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य उसी विस्थापन पर घटक बलों द्वारा किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

प्रमेय 2.परिणामी विस्थापन पर एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य घटक विस्थापन पर इस बल द्वारा किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

शक्ति

शक्ति एक मात्रा है जो समय की प्रति इकाई बल द्वारा किये गये कार्य को निर्धारित करती है।

शक्ति माप की इकाई 1W = 1 J/s है।

बलों के कार्य के निर्धारण के मामले

आंतरिक शक्तियों का कार्य

किसी भी गति के दौरान किसी कठोर पिंड की आंतरिक शक्तियों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य होता है।

गुरुत्वाकर्षण का कार्य

लोचदार बल का कार्य

घर्षण बल का कार्य

घूमते हुए पिंड पर लगाए गए बलों का कार्य

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर पर लागू बलों का प्रारंभिक कार्य घूर्णन की धुरी के सापेक्ष बाहरी बलों के मुख्य क्षण और घूर्णन के कोण में वृद्धि के उत्पाद के बराबर होता है।

रोलिंग प्रतिरोध

स्थिर सिलेंडर और विमान के संपर्क क्षेत्र में, संपर्क संपीड़न का स्थानीय विरूपण होता है, तनाव को अण्डाकार कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, और इन तनावों के परिणामी एन की कार्रवाई की रेखा भार की कार्रवाई की रेखा के साथ मेल खाती है सिलेंडर पर बल Q. जब सिलेंडर लुढ़कता है, तो भार वितरण अधिकतम गति की ओर स्थानांतरित होने के साथ असममित हो जाता है। परिणामी N को रोलिंग घर्षण बल की भुजा - k की मात्रा से विस्थापित किया जाता है, जिसे रोलिंग घर्षण गुणांक भी कहा जाता है और इसकी लंबाई का आयाम (सेमी) होता है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर बिंदु पर कार्यरत सभी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के भौतिक बिंदुओं पर कार्य करने वाले आंतरिक और बाह्य बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर एक कठोर पिंड (अपरिवर्तित प्रणाली) की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के योग के बराबर होता है।

क्षमता

तंत्र में कार्य करने वाली शक्तियाँ

किसी तंत्र या मशीन पर लागू होने वाले बलों और बलों के जोड़े (क्षण) को समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. ड्राइविंग बल और क्षण जो सकारात्मक कार्य करते हैं (ड्राइविंग लिंक पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, आंतरिक दहन इंजन में पिस्टन पर गैस का दबाव)।

2. प्रतिरोध के बल और क्षण जो नकारात्मक कार्य करते हैं:

• उपयोगी प्रतिरोध (वे मशीन से आवश्यक कार्य करते हैं और संचालित लिंक पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, मशीन द्वारा उठाए गए भार का प्रतिरोध),
• प्रतिरोध बल (उदाहरण के लिए, घर्षण बल, वायु प्रतिरोध, आदि)।

3. स्प्रिंग्स का गुरुत्वाकर्षण बल और लोचदार बल (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों कार्य, जबकि पूर्ण चक्र के लिए कार्य शून्य है)।

4. शरीर पर या बाहर से खड़े होने वाले बल और क्षण (नींव की प्रतिक्रिया, आदि), जो काम नहीं करते हैं।

5. गतिज युग्मों में कार्य करने वाली कड़ियों के बीच परस्पर क्रिया बल।

6. कड़ियों के द्रव्यमान और त्वरण के साथ गति के कारण होने वाली कड़ियों की जड़त्व शक्तियाँ सकारात्मक, नकारात्मक कार्य कर सकती हैं और कार्य नहीं कर सकती हैं।

तंत्रों में बलों का कार्य

जब मशीन स्थिर अवस्था में चलती है, तो इसकी गतिज ऊर्जा नहीं बदलती है और उस पर लागू ड्राइविंग बलों और प्रतिरोध बलों के काम का योग शून्य है।

मशीन को गति में स्थापित करने में खर्च किया गया कार्य उपयोगी और हानिकारक प्रतिरोधों पर काबू पाने में खर्च होता है।

तंत्र दक्षता

स्थिर गति के दौरान यांत्रिक दक्षता मशीन के उपयोगी कार्य और मशीन को गति में स्थापित करने पर खर्च किए गए कार्य के अनुपात के बराबर होती है:

मशीन के तत्वों को श्रृंखला, समानांतर और मिश्रित रूप से जोड़ा जा सकता है।

श्रृंखला कनेक्शन में दक्षता

जब तंत्र श्रृंखला में जुड़े होते हैं, तो समग्र दक्षता किसी व्यक्तिगत तंत्र की सबसे कम दक्षता से कम होती है।

समानांतर कनेक्शन में दक्षता

जब तंत्र समानांतर में जुड़े होते हैं, तो समग्र दक्षता किसी व्यक्तिगत तंत्र की निम्नतम दक्षता से अधिक और उच्चतम दक्षता से कम होती है।

प्रारूप: पीडीएफ

भाषा: रूसी, यूक्रेनी

स्पर गियर का गणना उदाहरण
स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण. सामग्री का चयन, अनुमेय तनाव की गणना, संपर्क और झुकने की ताकत की गणना की गई है।

बीम झुकने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाए गए, एक खतरनाक खंड पाया गया और एक आई-बीम का चयन किया गया। समस्या ने विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया और बीम के विभिन्न क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया।

शाफ्ट मरोड़ समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य किसी दिए गए व्यास, सामग्री और स्वीकार्य तनाव पर स्टील शाफ्ट की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, टॉर्क, कतरनी तनाव और मोड़ कोण के आरेख बनाए जाते हैं। शाफ्ट के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

किसी छड़ के तनाव-संपीड़न की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य निर्दिष्ट अनुमेय तनाव पर स्टील बार की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख बनाए जाते हैं। छड़ के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का अनुप्रयोग
किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

आइए एक परिभाषा से शुरू करें। काम एताकत एफ चलते समय एक्स जिस पिंड पर इसे लागू किया जाता है उसे सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है एफ और एक्स .

ए=एफ एक्स= Fxcosα.(2.9.1)

कहाँ α - बल और विस्थापन की दिशाओं के बीच का कोण.

अब हमें अभिव्यक्ति (1.6 ए) की आवश्यकता होगी, जो समान रूप से त्वरित गति के लिए प्राप्त की गई थी। लेकिन हम एक सार्वभौमिक निष्कर्ष निकालेंगे, जिसे गतिज ऊर्जा पर प्रमेय कहा जाता है। तो, आइए समानता को फिर से लिखें (1.6 ए)

एक एक्स=(वी 2 –वी 0 2)/2.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को कण के द्रव्यमान से गुणा करें, हमें मिलता है

एफएक्स=एम(वी 2 –वी 0 2)/2.

अंत में

ए = एमवी 2 /2 – एमवि 0 2 /2. (2.9.1)

आकार इ=एम V 2/2 को कण की गतिज ऊर्जा कहा जाता है।

आप इस तथ्य के आदी हैं कि ज्यामिति में प्रमेयों का अपना मौखिक सूत्रीकरण होता है। इस परंपरा को बनाए रखने के लिए, आइए हम गतिज ऊर्जा पर प्रमेय को पाठ्य रूप में प्रस्तुत करें।

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर कार्यरत सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।

यह प्रमेय सार्वभौमिक है, अर्थात यह किसी भी प्रकार की गति के लिए मान्य है। हालाँकि, इसके सटीक प्रमाण में इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग शामिल है। इसलिए हम इसे छोड़ देते हैं.

आइए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की गति के एक उदाहरण पर विचार करें। गुरुत्वाकर्षण का कार्य प्रारंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाले प्रक्षेप पथ के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल प्रारंभ और अंत स्थितियों में ऊंचाई के अंतर से निर्धारित होता है:

ए=मिलीग्राम( एच 1 –एच 2). (2.9.2)

आइए हम गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी बिंदु को मूल बिंदु के रूप में लें और एक कण को ​​किसी अन्य मनमाने बिंदु से इस बिंदु पर ले जाने पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य पर विचार करें। आर, ऊंचाई पर स्थित है एच. ये काम बराबर है एमजीएचऔर स्थितिज ऊर्जा कहलाती है इएक बिंदु पर n कण आर:

इएन = एमजीएच(2.9.3)

अब हम समानता (2.9.1) को रूपांतरित करते हैं, गतिज ऊर्जा के बारे में यांत्रिक प्रमेय रूप लेता है

ए = एमवी 2 /2 – एमवि0 2 /2= इपी1 - इपी2. (2.9.4)

एमवी 2 /2+ इ n2 = एमवि 0 2 /2+ इपी1.

इस समानता में, बाईं ओर प्रक्षेपवक्र के अंतिम बिंदु पर गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है, और दाईं ओर - प्रारंभिक बिंदु पर।

इस मात्रा को कुल यांत्रिक ऊर्जा कहा जाता है। हम इसे निरूपित करेंगे इ.

इ=इके+ इपी।

हम कुल ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर पहुंच गए हैं: एक बंद प्रणाली में, कुल ऊर्जा संरक्षित होती है।

हालाँकि, एक नोट बनाया जाना चाहिए। जबकि हम तथाकथित का एक उदाहरण देख रहे थे रूढ़िवादी ताकतें. ये बल केवल अंतरिक्ष में स्थिति पर निर्भर करते हैं। और किसी पिंड को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने पर ऐसे बलों द्वारा किया जाने वाला कार्य केवल इन दो स्थितियों पर निर्भर करता है और पथ पर निर्भर नहीं करता है। एक रूढ़िवादी बल द्वारा किया गया कार्य यांत्रिक रूप से प्रतिवर्ती होता है, अर्थात, जब शरीर अपनी मूल स्थिति में लौटता है तो यह अपना संकेत बदल देता है। गुरुत्वाकर्षण एक रूढ़िवादी शक्ति है. भविष्य में, हम अन्य प्रकार की रूढ़िवादी ताकतों से परिचित होंगे, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन की ताकत के साथ।

लेकिन प्रकृति में भी हैं गैर-रूढ़िवादी ताकतें. उदाहरण के लिए, फिसलने वाला घर्षण बल। किसी कण का पथ जितना लंबा होगा, इस कण पर लगने वाले फिसलने वाले घर्षण बल द्वारा उतना ही अधिक कार्य किया जाएगा। इसके अलावा, फिसलने वाले घर्षण बल का कार्य हमेशा नकारात्मक होता है, यानी, ऐसा बल ऊर्जा को "वापस" नहीं कर सकता है।

बंद प्रणालियों के लिए, कुल ऊर्जा, निश्चित रूप से, संरक्षित है। लेकिन यांत्रिकी की अधिकांश समस्याओं के लिए, ऊर्जा के संरक्षण के नियम का एक विशेष मामला, अर्थात् कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम, अधिक महत्वपूर्ण है। यहाँ उसका शब्द है.

यदि किसी पिंड पर केवल रूढ़िवादी बल कार्य करते हैं, तो इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा, जिसे गतिज और संभावित ऊर्जा के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, संरक्षित रहती है.

निम्नलिखित में हमें दो और महत्वपूर्ण समानताओं की आवश्यकता होगी। हमेशा की तरह, हम निष्कर्ष को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के एक विशेष मामले के सरल प्रदर्शन से बदल देंगे। लेकिन इन समानताओं का स्वरूप किसी भी रूढ़िवादी ताकतों के लिए मान्य होगा।

आइए हम समानता (2.9.4) को इस रूप में घटाएँ

ए=एफ∆एक्स= ईपी1 - इ n2 = –( इपी.कोन- इ n.beg)= – ∆U.

यहां हमने काम को देखा एकिसी पिंड को ∆ दूरी तक ले जाने पर एक्स।अंतिम और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बीच अंतर के बराबर ∆U का मान स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन कहलाता है। और परिणामी समानता एक अलग पंक्ति और एक विशेष संख्या की हकदार है। आइए हम इसे उसे सौंपने की जल्दी करें:

ए=– ∆U (2.9.5)

यहां से बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच गणितीय संबंध इस प्रकार है:

एफ= – ∆U/∆ एक्स(2.9.6)

सामान्य स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से संबंधित नहीं, समानता (2.9.6) सबसे सरल अंतर समीकरण है

एफ=-डीयू/डीएक्स।

आइए बिना प्रमाण के अंतिम उदाहरण पर विचार करें। गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा किया जाता है एफ(आर)=जीएमएम/आर 2और रूढ़िवादी है. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की संभावित ऊर्जा की अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार है:

यू(आर)=-जीएमएम/आर.

लेखक: – आइए एक साधारण मामले पर नजर डालें। क्षैतिज तल पर स्थित m द्रव्यमान के एक पिंड पर कुछ समय तक क्रिया की जाती है टीक्षैतिज बल एफ. कोई घर्षण नहीं है. बलपूर्वक किया जाने वाला कार्य क्या कहलाता है? एफ?

विद्यार्थी: – दौरान टीशरीर S= दूरी तय करेगा पर 2 /2, कहाँ ए=एफ/एम। इसलिए, आवश्यक कार्य है ए=एफएस= एफ 2 टी 2/(2मी).

लेखक: सब कुछ सही है अगर हम मान लें कि शरीर पर बल लगने से पहले वह आराम की स्थिति में था। आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें। बाहरी बल के साथ सह-निर्देशित एक निश्चित गति वी 0 के साथ बल की शुरुआत से पहले शरीर को सीधा और समान रूप से चलने दें। अब कौन सा काम समय पर हो गया? टी?

विद्यार्थी: – विस्थापन की गणना करने के लिए, मैं अधिक सामान्य सूत्र S= V 0 लूंगा टी+पर 2/2, मुझे यह काम के लिए मिलता है ए=एफ(वि0) टी+पर 2 /2). पिछले परिणाम से तुलना करने पर, मैं देखता हूं कि एक ही बल एक ही समयावधि में अलग-अलग कार्य उत्पन्न करता है।

m द्रव्यमान का एक पिंड झुकाव कोण α के साथ एक झुके हुए तल पर फिसलता है। एक समतल पर किसी पिंड के फिसलने वाले घर्षण का गुणांक क. शरीर पर हर समय एक क्षैतिज बल कार्य करता है एफ. वस्तु को S दूरी तक ले जाने पर इस बल द्वारा क्या कार्य किया जाता है?

विद्यार्थी: – आइए बलों को व्यवस्थित करें और उनका परिणाम ज्ञात करें। शरीर पर बाहरी बल F, साथ ही गुरुत्वाकर्षण, समर्थन प्रतिक्रिया और घर्षण बल द्वारा कार्य किया जाता है।

विद्यार्थी: – इससे पता चलता है कि कार्य A= एफएस ओलα और बस इतना ही. मैं वास्तव में हर बार सभी बलों की तलाश करने की आदत से निराश था, खासकर जब से समस्या ने घर्षण के द्रव्यमान और गुणांक का संकेत दिया था।

विद्यार्थी: – बल का कार्य एफमैंने पहले ही गणना कर ली है: ए 1 = एफएस ओलα. गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य A 2 = mgS है पापα. घर्षण बल का कार्य... ऋणात्मक है, क्योंकि बल और विस्थापन के सदिश विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं: A 3 = – kmgS ओलα. प्रतिक्रिया बल कार्य एनशून्य के बराबर है, क्योंकि बल और विस्थापन लंबवत हैं। क्या यह सच है कि मैं वास्तव में नकारात्मक कार्य का अर्थ नहीं समझता?

लेखक: – इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए बल का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा को कम कर देता है। वैसे। आइए ऊर्जा संरक्षण के नियम के दृष्टिकोण से चित्र 2.9.1 में दर्शाई गई वस्तु की गति पर चर्चा करें। सबसे पहले, सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य ज्ञात कीजिए।

विद्यार्थी: - ए= ए 1 + ए 2 + ए 3 = एफएस ओलα+ mgS पापα- किमीजीएस ओलα.

गतिज ऊर्जा पर प्रमेय के अनुसार, अंतिम और प्रारंभिक अवस्था में गतिज ऊर्जा के बीच का अंतर शरीर पर किए गए कार्य के बराबर होता है:

इको - इएन = ए.

विद्यार्थी: – शायद ये अन्य समीकरण थे जो इस समस्या से संबंधित नहीं थे?

लेखक: – लेकिन सभी समीकरणों को एक ही परिणाम देना चाहिए। मुद्दा यह है कि संभावित ऊर्जा कुल कार्य के लिए अभिव्यक्ति में निहित है। दरअसल, याद रखें A 2 = mgS पापα=mgh, जहां h शरीर के उतरने की ऊंचाई है। अब गतिज ऊर्जा प्रमेय से ऊर्जा संरक्षण के नियम के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करें।

विद्यार्थी: – चूंकि mgh=U n – U k, जहां U n और U k क्रमशः शरीर की प्रारंभिक और अंतिम संभावित ऊर्जा हैं, हमारे पास है:

एम वीएन 2 /2 + यूएन + ए 1 + ए 3 = एम वी 2 /2+ तक यूको।

विद्यार्थी: – मेरी राय में यह आसान है. घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऊष्मा की मात्रा के परिमाण में बिल्कुल बराबर होता है क्यू. इसीलिए क्यू= किमीजीएस ओलα.

विद्यार्थी: एम वीएन 2 /2 + यूएन + ए 1 – क्यू= एम वी 2 /2+ तक यूको।

लेखक: – आइए अब कार्य की परिभाषा को कुछ हद तक सामान्यीकृत करें। तथ्य यह है कि संबंध (2.9.1) केवल स्थिर बल के मामले में सत्य है। हालाँकि ऐसे कई मामले हैं जब बल स्वयं कण की गति पर निर्भर करता है। एक उदाहरण दें।

विद्यार्थी: – पहली चीज़ जो मन में आती है वह है स्प्रिंग स्ट्रेचिंग। जैसे-जैसे स्प्रिंग का ढीला सिरा हिलता है, बल बढ़ता जाता है। दूसरा उदाहरण एक पेंडुलम से संबंधित है, जिसे, जैसा कि हम जानते हैं, संतुलन स्थिति से बड़े विचलन के साथ पकड़ना अधिक कठिन होता है।

लेखक: – अच्छा। आइए वसंत का उदाहरण देखें। एक आदर्श स्प्रिंग के लोचदार बल को हुक के नियम द्वारा वर्णित किया गया है, जिसके अनुसार जब स्प्रिंग को एक मात्रा में संपीड़ित (या खींचा) जाता है एक्सविस्थापन के विपरीत एक बल उत्पन्न होता है, जो रैखिक रूप से निर्भर होता है एक्स. आइए हुक के नियम को समानता के रूप में लिखें:

एफ= – क एक्स (2.9.2)

यहाँ k स्प्रिंग कठोरता गुणांक है, एक्स- स्प्रिंग विरूपण की मात्रा. रिश्ते का एक ग्राफ बनाएं एफ(एक्स).

विद्यार्थी: मेरा चित्र चित्र में दिखाया गया है।

चित्र.2.9.2

ग्राफ़ का बायां आधा भाग स्प्रिंग के संपीड़न से मेल खाता है, और दायां आधा भाग तनाव से मेल खाता है।

लेखक: – आइए अब से चलते समय बल F द्वारा किए गए कार्य की गणना करें एक्स=0 से एक्स= एस. इसके लिए एक सामान्य नियम है. यदि हम विस्थापन पर बल की सामान्य निर्भरता को जानते हैं, तो x 1 से x 2 तक के खंड पर कार्य इस खंड पर वक्र F (x) के नीचे का क्षेत्र है।

विद्यार्थी: – इसका मतलब यह है कि किसी पिंड को हिलाने पर लोचदार बल द्वारा किया गया कार्य एक्स=0 से एक्स=S ऋणात्मक है, और इसका मापांक एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है: ए= केएस 2 /2.

ए= क एक्स 2 /2. (2.9.3)

यह कार्य विकृत स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।

कहानी।

रदरफोर्ड ने श्रोताओं को रेडियम के क्षय का प्रदर्शन किया। स्क्रीन बारी-बारी से चमकती और काली होती गई।

– अब आप देखो – रदरफोर्ड ने कहा, – कि कुछ भी दिखाई नहीं दे रहा है. और कुछ दिखाई क्यों नहीं देता, यह अब तुम्हें दिखाई पड़ेगा।

आइए एक परिभाषा से शुरू करें। काम एताकत एफ चलते समय एक्स जिस पिंड पर इसे लागू किया जाता है उसे सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है एफ और एक्स .

ए= एफ एक्स= Fxcosα. (2.9.1)

कहाँ α - बल और विस्थापन की दिशाओं के बीच का कोण.

अब हमें अभिव्यक्ति (1.6 ए) की आवश्यकता होगी, जो समान रूप से त्वरित गति के लिए प्राप्त की गई थी। लेकिन हम एक सार्वभौमिक निष्कर्ष निकालेंगे, जिसे गतिज ऊर्जा पर प्रमेय कहा जाता है। तो, आइए समानता को फिर से लिखें (1.6 ए)

ए· एक्स=(वी 2 –वी 0 2)/2.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को कण के द्रव्यमान से गुणा करें, हमें मिलता है

एफएक्स=एम(वी 2 –वी 0 2)/2.

अंत में

ए= एमवी 2 /2 – एमवि 0 2 /2. (2.9.1)

आकार इ= एम V 2/2 को कण की गतिज ऊर्जा कहा जाता है।

आप इस तथ्य के आदी हैं कि ज्यामिति में प्रमेयों का अपना मौखिक सूत्रीकरण होता है। इस परंपरा को बनाए रखने के लिए, आइए हम गतिज ऊर्जा पर प्रमेय को पाठ्य रूप में प्रस्तुत करें।

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर कार्यरत सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।

यह प्रमेय सार्वभौमिक है, अर्थात यह किसी भी प्रकार की गति के लिए मान्य है। हालाँकि, इसके सटीक प्रमाण में इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग शामिल है। इसलिए हम इसे छोड़ देते हैं.

आइए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की गति के एक उदाहरण पर विचार करें। गुरुत्वाकर्षण का कार्य प्रारंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाले प्रक्षेप पथ के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल प्रारंभ और अंत स्थितियों में ऊंचाई के अंतर से निर्धारित होता है:

ए=मिलीग्राम( एच 1 –एच 2). (2.9.2)

आइए हम गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी बिंदु को मूल बिंदु के रूप में लें और एक कण को ​​किसी अन्य मनमाने बिंदु से इस बिंदु पर ले जाने पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य पर विचार करें। आर, ऊंचाई पर स्थित है एच. ये काम बराबर है एमजीएचऔर स्थितिज ऊर्जा कहलाती है इएक बिंदु पर n कण आर:

इएन = एमजीएच (2.9.3)

अब हम समानता (2.9.1) को रूपांतरित करते हैं, गतिज ऊर्जा के बारे में यांत्रिक प्रमेय रूप लेता है

ए= एमवी 2 /2 – एमवि0 2 /2= इपी1 - इपी2. (2.9.4)

एमवी 2 /2+ इ n2 = एमवि 0 2 /2+ इपी1.

इस समानता में, बाईं ओर प्रक्षेपवक्र के अंतिम बिंदु पर गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है, और दाईं ओर - प्रारंभिक बिंदु पर।

इस मात्रा को कुल यांत्रिक ऊर्जा कहा जाता है। हम इसे निरूपित करेंगे इ.

इ=इके+ इपी।

हम कुल ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर पहुंच गए हैं: एक बंद प्रणाली में, कुल ऊर्जा संरक्षित होती है।

हालाँकि, एक नोट बनाया जाना चाहिए। जबकि हम तथाकथित का एक उदाहरण देख रहे थे रूढ़िवादी ताकतें. ये बल केवल अंतरिक्ष में स्थिति पर निर्भर करते हैं। और किसी पिंड को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने पर ऐसे बलों द्वारा किया जाने वाला कार्य केवल इन दो स्थितियों पर निर्भर करता है और पथ पर निर्भर नहीं करता है। एक रूढ़िवादी बल द्वारा किया गया कार्य यांत्रिक रूप से प्रतिवर्ती होता है, अर्थात, जब शरीर अपनी मूल स्थिति में लौटता है तो यह अपना संकेत बदल देता है। गुरुत्वाकर्षण एक रूढ़िवादी शक्ति है. भविष्य में, हम अन्य प्रकार की रूढ़िवादी ताकतों से परिचित होंगे, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन की ताकत के साथ।

लेकिन प्रकृति में भी हैं गैर-रूढ़िवादी ताकतें. उदाहरण के लिए, फिसलने वाला घर्षण बल। किसी कण का पथ जितना लंबा होगा, इस कण पर लगने वाले फिसलने वाले घर्षण बल द्वारा उतना ही अधिक कार्य किया जाएगा। इसके अलावा, फिसलने वाले घर्षण बल का कार्य हमेशा नकारात्मक होता है, यानी, ऐसा बल ऊर्जा को "वापस" नहीं कर सकता है।

बंद प्रणालियों के लिए, कुल ऊर्जा, निश्चित रूप से, संरक्षित है। लेकिन यांत्रिकी की अधिकांश समस्याओं के लिए, ऊर्जा के संरक्षण के नियम का एक विशेष मामला, अर्थात् कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम, अधिक महत्वपूर्ण है। यहाँ उसका शब्द है.

यदि किसी पिंड पर केवल रूढ़िवादी बल कार्य करते हैं, तो इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा, जिसे गतिज और संभावित ऊर्जा के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, संरक्षित रहती है.

निम्नलिखित में हमें दो और महत्वपूर्ण समानताओं की आवश्यकता होगी। हमेशा की तरह, हम निष्कर्ष को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के एक विशेष मामले के सरल प्रदर्शन से बदल देंगे। लेकिन इन समानताओं का स्वरूप किसी भी रूढ़िवादी ताकतों के लिए मान्य होगा।

आइए हम समानता (2.9.4) को इस रूप में घटाएँ

ए=एफ∆एक्स= इपी1 - इ n2 = –( इपी.कोन- इ n.beg)= – ∆U.

यहां हमने काम को देखा एकिसी पिंड को ∆ दूरी तक ले जाने पर एक्स. अंतिम और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बीच अंतर के बराबर ∆U का मान स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन कहलाता है। और परिणामी समानता एक अलग पंक्ति और एक विशेष संख्या की हकदार है। आइए हम इसे उसे सौंपने की जल्दी करें:

ए=– ∆U (2.9.5)

यहां से बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच गणितीय संबंध इस प्रकार है:

एफ= – ∆U/∆ एक्स (2.9.6)

सामान्य स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से संबंधित नहीं, समानता (2.9.6) सबसे सरल अंतर समीकरण है

एफ= – ड्यू/ डीएक्स.

आइए बिना प्रमाण के अंतिम उदाहरण पर विचार करें। गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा किया जाता है एफ(आर)= जीएमएम/ आर 2 और रूढ़िवादी है. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की संभावित ऊर्जा की अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार है:

यू(आर)= – जीएमएम/ आर.

लेखक: – आइए एक साधारण मामले पर नजर डालें। क्षैतिज तल पर स्थित m द्रव्यमान के एक पिंड पर कुछ समय तक क्रिया की जाती है टीक्षैतिज बल एफ. कोई घर्षण नहीं है. बलपूर्वक किया जाने वाला कार्य क्या कहलाता है? एफ?

विद्यार्थी: – दौरान टीशरीर S= दूरी तय करेगा एटी 2 /2, कहाँ ए=एफ/एम। इसलिए, आवश्यक कार्य है ए=एफएस= एफ 2 टी 2/(2मी).

लेखक: सब कुछ सही है अगर हम मान लें कि शरीर पर बल लगने से पहले वह आराम की स्थिति में था। आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें। बाहरी बल के साथ सह-निर्देशित एक निश्चित गति वी 0 के साथ बल की शुरुआत से पहले शरीर को सीधा और समान रूप से चलने दें। अब कौन सा काम समय पर हो गया? टी?

विद्यार्थी: – विस्थापन की गणना करने के लिए, मैं अधिक सामान्य सूत्र S= V 0 लूंगा टी+एटी 2/2, मुझे यह काम के लिए मिलता है ए=एफ(वि0) टी+एटी 2 /2). पिछले परिणाम से तुलना करने पर, मैं देखता हूं कि एक ही बल एक ही समयावधि में अलग-अलग कार्य उत्पन्न करता है।

m द्रव्यमान का एक पिंड झुकाव कोण α के साथ एक झुके हुए तल पर फिसलता है। एक समतल पर किसी पिंड के फिसलने वाले घर्षण का गुणांक क. शरीर पर हर समय एक क्षैतिज बल कार्य करता है एफ. वस्तु को S दूरी तक ले जाने पर इस बल द्वारा क्या कार्य किया जाता है?

विद्यार्थी: – आइए बलों को व्यवस्थित करें और उनका परिणाम ज्ञात करें। शरीर पर बाहरी बल F, साथ ही गुरुत्वाकर्षण, समर्थन प्रतिक्रिया और घर्षण बल द्वारा कार्य किया जाता है।

विद्यार्थी: – इससे पता चलता है कि कार्य A= एफएस ओलα और बस इतना ही. मैं वास्तव में हर बार सभी बलों की तलाश करने की आदत से निराश था, खासकर जब से समस्या ने घर्षण के द्रव्यमान और गुणांक का संकेत दिया था।

विद्यार्थी: – बल का कार्य एफमैंने पहले ही गणना कर ली है: ए 1 = एफएस ओलα. गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य A 2 = mgS है पापα. घर्षण बल का कार्य... ऋणात्मक है, क्योंकि बल और विस्थापन के सदिश विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं: A 3 = – kmgS ओलα. प्रतिक्रिया बल कार्य एनशून्य के बराबर है, क्योंकि बल और विस्थापन लंबवत हैं। क्या यह सच है कि मैं वास्तव में नकारात्मक कार्य का अर्थ नहीं समझता?

लेखक: – इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए बल का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा को कम कर देता है। वैसे। आइए ऊर्जा संरक्षण के नियम के दृष्टिकोण से चित्र 2.9.1 में दर्शाई गई वस्तु की गति पर चर्चा करें। सबसे पहले, सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य ज्ञात कीजिए।

विद्यार्थी: - ए= ए 1 + ए 2 + ए 3 = एफएस ओलα+ mgS पापα- किमीजीएस ओलα.

गतिज ऊर्जा पर प्रमेय के अनुसार, अंतिम और प्रारंभिक अवस्था में गतिज ऊर्जा के बीच का अंतर शरीर पर किए गए कार्य के बराबर होता है:

इको - इएन = ए.

विद्यार्थी: – शायद ये अन्य समीकरण थे जो इस समस्या से संबंधित नहीं थे?

लेखक: – लेकिन सभी समीकरणों को एक ही परिणाम देना चाहिए। मुद्दा यह है कि संभावित ऊर्जा कुल कार्य के लिए अभिव्यक्ति में निहित है। दरअसल, याद रखें A 2 = mgS पापα=mgh, जहां h शरीर के उतरने की ऊंचाई है। अब गतिज ऊर्जा प्रमेय से ऊर्जा संरक्षण के नियम के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करें।

विद्यार्थी: – चूंकि mgh=U n – U k, जहां U n और U k क्रमशः शरीर की प्रारंभिक और अंतिम संभावित ऊर्जा हैं, हमारे पास है:

एम वीएन 2 /2 + यूएन + ए 1 + ए 3 = एम वी 2 /2+ तक यूको।

विद्यार्थी: – मेरी राय में यह आसान है. घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऊष्मा की मात्रा के परिमाण में बिल्कुल बराबर होता है क्यू. इसीलिए क्यू= किमीजीएस ओलα.

विद्यार्थी: एम वीएन 2 /2 + यूएन + ए 1 – क्यू= एम वी 2 /2+ तक यूको।

लेखक: – आइए अब कार्य की परिभाषा को कुछ हद तक सामान्यीकृत करें। तथ्य यह है कि संबंध (2.9.1) केवल स्थिर बल के मामले में सत्य है। हालाँकि ऐसे कई मामले हैं जब बल स्वयं कण की गति पर निर्भर करता है। एक उदाहरण दें।

विद्यार्थी: – पहली चीज़ जो मन में आती है वह है स्प्रिंग स्ट्रेचिंग। जैसे-जैसे स्प्रिंग का ढीला सिरा हिलता है, बल बढ़ता जाता है। दूसरा उदाहरण एक पेंडुलम से संबंधित है, जिसे, जैसा कि हम जानते हैं, संतुलन स्थिति से बड़े विचलन के साथ पकड़ना अधिक कठिन होता है।

लेखक: – अच्छा। आइए वसंत का उदाहरण देखें। एक आदर्श स्प्रिंग के लोचदार बल को हुक के नियम द्वारा वर्णित किया गया है, जिसके अनुसार जब स्प्रिंग को एक मात्रा में संपीड़ित (या खींचा) जाता है एक्सविस्थापन के विपरीत एक बल उत्पन्न होता है, जो रैखिक रूप से निर्भर होता है एक्स. आइए हुक के नियम को समानता के रूप में लिखें:

एफ= – क एक्स (2.9.2)

यहाँ k स्प्रिंग कठोरता गुणांक है, एक्स- स्प्रिंग विरूपण की मात्रा. रिश्ते का एक ग्राफ बनाएं एफ(एक्स).

विद्यार्थी: मेरा चित्र चित्र में दिखाया गया है।

चित्र.2.9.2

ग्राफ़ का बायां आधा भाग स्प्रिंग के संपीड़न से मेल खाता है, और दायां आधा भाग तनाव से मेल खाता है।

लेखक: – आइए अब से चलते समय बल F द्वारा किए गए कार्य की गणना करें एक्स=0 से एक्स= एस. इसके लिए एक सामान्य नियम है. यदि हम विस्थापन पर बल की सामान्य निर्भरता को जानते हैं, तो अनुभाग पर कार्य x पर निर्भर करता है 1 एक्स तक 2 वक्र के नीचे का क्षेत्र हैएफ(एक्स) इस खंड पर.

विद्यार्थी: – इसका मतलब यह है कि किसी पिंड को हिलाने पर लोचदार बल द्वारा किया गया कार्य एक्स=0 से एक्स=S ऋणात्मक है, और इसका मापांक एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है: ए= केएस 2 /2.

ए= क एक्स 2 /2. (2.9.3)

यह कार्य विकृत स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।

कहानी।

रदरफोर्ड ने श्रोताओं को रेडियम के क्षय का प्रदर्शन किया। स्क्रीन बारी-बारी से चमकती और काली होती गई।

- अब आप देखो – रदरफोर्ड ने कहा, – कि कुछ भी दिखाई नहीं दे रहा है. और कुछ दिखाई क्यों नहीं देता, यह अब तुम्हें दिखाई पड़ेगा।

प्रश्न और कार्य

1. रोजमर्रा की जिंदगी में आने वाली उन स्थितियों की सूची बनाएं जिनमें गैर-रूढ़िवादी ताकतें शामिल हैं।

2. आप धीरे-धीरे किताब को मेज से उठाकर एक ऊंचे शेल्फ पर रखें। पुस्तक पर कार्य करने वाली शक्तियों की सूची बनाएं और निर्धारित करें कि कौन सी ताकतें रूढ़िवादी हैं और कौन सी नहीं।

3. कण पर लगने वाला परिणामी बल रूढ़िवादी होता है और इसकी गतिज ऊर्जा को 300 तक बढ़ा देता है जे. a) कण की स्थितिज ऊर्जा, b) उसकी कुल ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?

4. क्या निम्नलिखित कथन का कोई भौतिक अर्थ है: ऊंची छलांगों में लचीले प्लास्टिक से बने डंडों के उपयोग से इस तथ्य के कारण परिणामों में वृद्धि हुई है कि इसका अधिक लचीलापन अतिरिक्त लोचदार ऊर्जा प्रदान करता है, जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की संभावित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है?

5. एक झुका हुआ तल है, जिसका एक सिरा ऊँचाई तक उठा हुआ है एन. शरीर का भार एमशीर्ष बिंदु से (प्रारंभिक गति के बिना) नीचे लुढ़कता है। क्या झुके हुए तल के आधार पर इस पिंड की गति क्षितिज के साथ बने कोण पर निर्भर करती है, यदि a) कोई घर्षण नहीं है, b) घर्षण है?

6. जब हम पहले किसी पहाड़ पर चढ़ते हैं और फिर उतरते हैं तब भी हम क्यों थक जाते हैं? आख़िरकार, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किया गया कुल कार्य शून्य है।

7. यह उदाहरण तो और भी कठोर है. कल्पना कीजिए कि आप हाथ की दूरी पर डम्बल पकड़े हुए हैं। चिंता न करें, यह बहुत भारी नहीं है। लेकिन फिर भी हाथ थक जाता है. लेकिन कोई यांत्रिक कार्य नहीं है, क्योंकि कोई गति नहीं है। आपकी मांसपेशियों की ऊर्जा कहाँ जाती है?

8. वसंत मास एममेज पर ऊर्ध्वाधर स्थिति में रहता है। क्या आपके द्वारा इसे संपीड़ित करने, ऊपर से दबाने और फिर इसे छोड़ने के बाद स्प्रिंग उछलकर टेबल से बाहर आ पाएगा? ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके अपना उत्तर स्पष्ट करें।

9. जब पानी झरने के आधार तक पहुंचता है तो झरने के शीर्ष पर मौजूद संभावित ऊर्जा का क्या होता है? गतिज और कुल ऊर्जा का क्या होता है?

10. अनुभवी पर्यटक गिरे हुए लट्ठे पर पैर रखने और विपरीत दिशा से कूदने के बजाय उस पर कदम रखना पसंद करते हैं। घटना की व्याख्या करें.

11. दो लोग अलग-अलग प्लेटफार्मों पर हैं जो गति V के साथ एक दूसरे के सापेक्ष चलते हैं। वे एक लॉग को देखते हैं जिसे एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर खींचा जा रहा है। क्या इन लोगों द्वारा प्राप्त मूल्य मेल खाते हैं: ए) लॉग की गतिज ऊर्जा; बी) शरीर पर किया गया कुल कार्य; ग) घर्षण की उपस्थिति के कारण यांत्रिक ऊर्जा तापीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है? क्या प्रश्न c) का उत्तर a) और b) प्रश्न के उत्तरों का खंडन नहीं करता है?

12. जब कोई कार आराम की स्थिति से समान रूप से तेज होती है तो उसकी गतिज ऊर्जा कहाँ से आती है? हम गतिज ऊर्जा में वृद्धि को टायरों और राजमार्ग के बीच घर्षण की उपस्थिति से कैसे जोड़ सकते हैं?

13. शीतकाल में पृथ्वी सबसे कम दूरी पर सूर्य के निकट आती है। पृथ्वी की स्थितिज ऊर्जा सबसे अधिक कब होती है?

14 क्या कुल यांत्रिक ऊर्जा ऋणात्मक हो सकती है? उदाहरण दो।

15. किस बिंदु पर बल सबसे अधिक होता है? प्रत्येक क्रमांकित बिंदु के लिए, इंगित करें कि बल किस दिशा में कार्य कर रहा है। कौन सा बिंदु संतुलन स्थिति से मेल खाता है?

कार्य

16. एक गोली न्यूनतम 200 की गति से एक निश्चित बोर्ड को भेदती है एमएस. लंबे धागे पर लटके इस बोर्ड को भेदने के लिए गोली को कितनी गति से चलना होगा? गोली का वजन 15 जी, बोर्ड का वजन 90 जी, गोली बोर्ड की सतह के बिल्कुल लंबवत केंद्र पर लगती है।

17. मास की लकड़ी की गेंद एम =1 किलोग्रामएक रस्सी पर लटका दिया जाता है ताकि रस्सी के निलंबन बिंदु से गेंद के केंद्र तक की दूरी बराबर हो एल= 1 एम. गेंद गति से क्षैतिज रूप से उड़ रहे एक विमान से टकराती है वी 1 =400 एमएसगोली द्रव्यमान एम= 10 जी, जो गेंद को उसके व्यास के ठीक अनुदिश छेदता है और तेज गति से उसमें से उड़ जाता है वी 2 =230 एमएस. कोण को परिभाषित करें  ऊर्ध्वाधर से निलंबन का अधिकतम विचलन। हवा के प्रतिरोध और गोली को गेंद को भेदने में लगने वाले समय की उपेक्षा करें।

18. क्षितिज की ओर α कोण पर झुके हुए समतल पर द्रव्यमान के दो पिंड हैं एम. पिंडों और तल के बीच घर्षण गुणांक क>टीजीα. पिंडों को समान प्रति वेग दिए जाते हैं वी. अधिकतम प्रारंभिक दूरी पर एल क्या वे निकायों के बीच टकराएंगे?

19. गाड़ी चिकनी पटरियों पर लुढ़कती हुई त्रिज्या का एक ऊर्ध्वाधर लूप बनाती है आर. कितनी न्यूनतम ऊंचाई से एचक्या गाड़ी को लुढ़कना चाहिए ताकि वह अपनी पूरी लंबाई के साथ रेल को न छोड़े? यदि गाड़ी ऊंचाई से नीचे लुढ़क जाए तो उसकी गति क्या होगी? एच, छोटा एचमिनट?

20. उस समय गिरते हुए डम्बल से ऊर्ध्वाधर दीवार पर लगने वाले बल का निर्धारण करें जब डम्बल की धुरी क्षैतिज के साथ  कोण बनाती है। डम्बल प्रारंभिक गति के बिना ऊर्ध्वाधर स्थिति से अपनी गति शुरू करता है। प्रत्येक डम्बल बॉल का द्रव्यमान m है।

21. एक धागे की लंबाई 2 पर एचनिलंबित वजन एम. दूरी पर एचनिलंबन बिंदु के नीचे एक कील ठोक दी जाती है। धागे को /2 के कोण द्वारा संतुलन स्थिति से विक्षेपित किया गया और छोड़ दिया गया। संतुलन स्थिति से गुजरने के बाद वजन किस अधिकतम ऊंचाई तक बढ़ेगा?

22. मास स्टैंड एमअर्धगोलाकार अवकाश त्रिज्या के साथ आरएक चिकने क्षैतिज तल पर खड़ा है। द्रव्यमान का छोटा पिंड एमइसे पायदान के किनारे पर रखें और छोड़ दें। शरीर और स्टैंड की गति, सबसे निचले बिंदु को पार करने के समय शरीर पर लगने वाला बल ज्ञात करें

23. वजन द्रव्यमान एम, एक सख्त स्प्रिंग पर लटका हुआ क, इसे स्टैंड द्वारा पकड़कर रखा जाता है ताकि स्प्रिंग विकृत अवस्था में रहे। स्टैंड अचानक हटा दिया गया है. स्प्रिंग का अधिकतम बढ़ाव और भार की अधिकतम गति ज्ञात कीजिए।

24. एक सख्त स्प्रिंग पर लटकाए गए भार से क, द्रव्यमान का एक भाग निकल जाता है एम. इसके बाद भार का शेष भाग कितनी ऊंचाई तक बढ़ जाएगा?

25. ऊपरी द्रव्यमान पर कितना बल लगाया जाना चाहिए? एम, ताकि कम भार का वजन हो एम, ऊपरी सख्त स्प्रिंग से जुड़ा हुआ है क, बल बंद होने के बाद फर्श से उतर गया?

26. द्रव्यमान वाले दो पिंड क्षैतिज तल पर स्थित हैं एम 1 और एम 2 एक विकृत स्प्रिंग द्वारा जुड़ा हुआ। पता लगाएँ कि सबसे छोटा स्थिर बल क्या है जिसे दाएँ पिंड को हिलाने के लिए बाएँ पिंड पर लगाया जाना चाहिए। पिंडों और एक तल के बीच घर्षण का गुणांक  है।