Qual è il teorema dell'energia cinetica? Energia - materiali per la preparazione all'Esame di Stato Unificato di Fisica

1. L'energia cinetica di un corpo è uguale al prodotto della massa del corpo e del quadrato della sua velocità, diviso a metà.

2. Cos'è il teorema dell'energia cinetica?

2. Il lavoro della forza (forze risultanti) è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo.

3. Come cambia l'energia cinetica di un corpo se la forza applicata ad esso compie un lavoro positivo? Lavoro negativo?

3. L'energia cinetica di un corpo aumenta se la forza applicata al corpo compie un lavoro positivo e diminuisce se la forza compie un lavoro negativo.

4. L'energia cinetica di un corpo cambia quando cambia la direzione del suo vettore velocità?

4. Non cambia, perché nella formula abbiamo V 2.

5. Due sfere di uguale massa rotolano l'una verso l'altra con la stessa velocità assoluta su una superficie molto liscia. Le palline si scontrano, si fermano per un attimo e poi si muovono in direzioni opposte con la stessa velocità assoluta. Qual è la loro energia cinetica totale prima dell'urto, al momento dell'urto e dopo?

5. Energia cinetica totale prima dell'urto.

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Breve recensione

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Due casi di trasformazione del movimento meccanico di un punto materiale o sistema di punti:

1. il movimento meccanico viene trasferito da un sistema meccanico a un altro come movimento meccanico;
2. il movimento meccanico si trasforma in un'altra forma di movimento della materia (sotto forma di energia potenziale, calore, elettricità, ecc.).

Quando si considera la trasformazione del movimento meccanico senza il suo passaggio ad un'altra forma di movimento, la misura del movimento meccanico è il vettore della quantità di moto di un punto materiale o di un sistema meccanico. La misura della forza in questo caso è il vettore dell'impulso di forza.

Quando il movimento meccanico si trasforma in un'altra forma di movimento della materia, l'energia cinetica di un punto materiale o di un sistema meccanico funge da misura del movimento meccanico. La misura dell'azione della forza quando si trasforma il movimento meccanico in un'altra forma di movimento è il lavoro della forza

Energia cinetica

L'energia cinetica è la capacità del corpo di superare un ostacolo mentre si muove.

Energia cinetica di un punto materiale

L'energia cinetica di un punto materiale è una quantità scalare pari alla metà del prodotto della massa del punto per il quadrato della sua velocità.

Energia cinetica:

• caratterizza sia i movimenti traslatori che quelli rotazionali;
• non dipende dalla direzione del movimento dei punti del sistema e non caratterizza i cambiamenti in queste direzioni;
• caratterizza l’azione delle forze sia interne che esterne.

Energia cinetica di un sistema meccanico

L'energia cinetica del sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche dei corpi del sistema. L'energia cinetica dipende dal tipo di movimento dei corpi del sistema.

Determinazione dell'energia cinetica di un corpo solido per diversi tipi di movimento.

Energia cinetica del moto traslatorio
Durante il movimento traslatorio, l'energia cinetica del corpo è uguale a T=M V2/2.

La misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento traslatorio è la massa.

Energia cinetica del moto rotatorio di un corpo

Durante il movimento rotatorio di un corpo, l'energia cinetica è pari alla metà del prodotto del momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione e del quadrato della sua velocità angolare.

Una misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento rotatorio è il momento di inerzia.

L'energia cinetica di un corpo non dipende dal senso di rotazione del corpo.

Energia cinetica del moto piano parallelo di un corpo

Con il movimento piano parallelo di un corpo, l'energia cinetica è uguale a

Lavoro di forza

Il lavoro di forza caratterizza l'azione di una forza su un corpo durante un certo movimento e determina la variazione del modulo di velocità del punto in movimento.

Lavoro di forza elementare

Il lavoro elementare di una forza è definito come una quantità scalare pari al prodotto della proiezione della forza sulla tangente alla traiettoria, diretta nella direzione del moto del punto, e dello spostamento infinitesimo del punto, diretto lungo questa tangente.

Lavoro compiuto dalla forza sullo spostamento finale

Il lavoro compiuto da una forza su uno spostamento finale è pari alla somma del suo lavoro sulle sezioni elementari.

Il lavoro di una forza su uno spostamento finale M 1 M 0 è uguale all'integrale del lavoro elementare lungo questo spostamento.

Il lavoro di una forza sullo spostamento M 1 M 2 è rappresentato dall'area della figura, limitata dall'asse delle ascisse, dalla curva e dalle ordinate corrispondenti ai punti M 1 e M 0.

L'unità di misura del lavoro della forza e dell'energia cinetica nel sistema SI è 1 (J).

Teoremi sul lavoro della forza

Teorema 1. Il lavoro compiuto dalla forza risultante su un certo spostamento è uguale alla somma algebrica del lavoro compiuto dalle forze componenti sullo stesso spostamento.

Teorema 2. Il lavoro compiuto da una forza costante sullo spostamento risultante è uguale alla somma algebrica del lavoro compiuto da questa forza sugli spostamenti componenti.

Energia

La potenza è una quantità che determina il lavoro compiuto da una forza nell'unità di tempo.

L'unità di misura della potenza è 1W = 1 J/s.

Casi di determinazione del lavoro delle forze

Lavoro delle forze interne

La somma del lavoro compiuto dalle forze interne di un corpo rigido durante qualsiasi movimento è zero.

Lavoro di gravità

Lavoro della forza elastica

Lavoro della forza di attrito

Lavoro delle forze applicate ad un corpo rotante

Il lavoro elementare delle forze applicate ad un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento principale delle forze esterne rispetto all'asse di rotazione e all'incremento dell'angolo di rotazione.

Resistenza al rotolamento

Nella zona di contatto del cilindro stazionario e del piano si verifica una deformazione locale della compressione di contatto, la sollecitazione è distribuita secondo una legge ellittica e la linea di azione della risultante N di queste sollecitazioni coincide con la linea di azione del carico forza sul cilindro Q. Quando il cilindro rotola, la distribuzione del carico diventa asimmetrica con un massimo spostato verso il movimento. La risultante N viene spostata della quantità k - il braccio della forza di attrito volvente, chiamato anche coefficiente di attrito volvente e ha la dimensione della lunghezza (cm)

Teorema sulla variazione di energia cinetica di un punto materiale

La variazione dell'energia cinetica di un punto materiale ad un certo spostamento è uguale alla somma algebrica di tutte le forze agenti sul punto allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione di energia cinetica di un sistema meccanico

La variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico ad un certo spostamento è uguale alla somma algebrica delle forze interne ed esterne che agiscono sui punti materiali del sistema allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione di energia cinetica di un corpo solido

La variazione dell'energia cinetica di un corpo rigido (sistema invariato) ad un certo spostamento è uguale alla somma delle forze esterne che agiscono sui punti del sistema allo stesso spostamento.

Efficienza

Forze agenti nei meccanismi

Le forze e le coppie di forze (momenti) applicate a un meccanismo o a una macchina possono essere divise in gruppi:

1. Forze e momenti motrici che eseguono lavoro positivo (applicati ai collegamenti motrici, ad esempio, la pressione del gas sul pistone in un motore a combustione interna).

2. Forze e momenti di resistenza che svolgono lavoro negativo:

• resistenza utile (eseguono il lavoro richiesto dalla macchina e si applicano alle maglie comandate, ad esempio la resistenza del carico sollevato dalla macchina),
• forze di resistenza (ad esempio forze di attrito, resistenza dell'aria, ecc.).

3. Forze di gravità e forze elastiche delle molle (lavoro sia positivo che negativo, mentre il lavoro per un ciclo completo è zero).

4. Forze e momenti applicati al corpo o al supporto dall'esterno (reazione della fondazione, ecc.), che non producono lavoro.

5. Forze di interazione tra collegamenti agenti in coppie cinematiche.

6. Le forze inerziali dei collegamenti, causate dalla massa e dal movimento dei collegamenti con accelerazione, possono svolgere lavoro positivo, negativo e non svolgere lavoro.

Lavoro delle forze nei meccanismi

Quando la macchina funziona a regime, la sua energia cinetica non cambia e la somma del lavoro delle forze motrici e delle forze di resistenza ad essa applicate è zero.

Il lavoro speso nel mettere in moto la macchina è speso nel vincere resistenze utili e dannose.

Efficienza del meccanismo

Il rendimento meccanico durante il movimento stazionario è uguale al rapporto tra il lavoro utile della macchina e il lavoro speso per mettere in movimento la macchina:

Gli elementi della macchina possono essere collegati in serie, parallelo e misti.

Efficienza nel collegamento in serie

Quando i meccanismi sono collegati in serie, l'efficienza complessiva è inferiore all'efficienza più bassa di un singolo meccanismo.

Efficienza nel collegamento in parallelo

Quando i meccanismi sono collegati in parallelo, l'efficienza complessiva è maggiore dell'efficienza minima e inferiore all'efficienza massima di un singolo meccanismo.

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Esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.

Un esempio di risoluzione di un problema di flessione della trave
Nell'esempio sono stati costruiti i diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti, è stata trovata una sezione pericolosa ed è stata selezionata una trave a I. Il problema ha analizzato la costruzione di diagrammi utilizzando le dipendenze differenziali e ha effettuato un'analisi comparativa di varie sezioni trasversali della trave.

Un esempio di risoluzione di un problema di torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio con un determinato diametro, materiale e sollecitazione ammissibile. Durante la soluzione vengono costruiti diagrammi di coppie, sollecitazioni di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione

Un esempio di risoluzione di un problema di tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di una barra d'acciaio alle sollecitazioni ammissibili specificate. Durante la soluzione vengono costruiti i diagrammi delle forze longitudinali, delle tensioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della canna non viene preso in considerazione

Applicazione del teorema sulla conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sulla conservazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

Cominciamo con una definizione. Lavoro UN forza F quando ci si sposta X del corpo a cui è applicato è definito come il prodotto scalare di vettori F E X .

A=Fx= Fxcosα.(2.9.1)

Dove α – l’angolo tra le direzioni della forza e dello spostamento.

Ora avremo bisogno dell'espressione (1.6 a), ottenuta per il movimento uniformemente accelerato. Ma trarremo una conclusione universale, chiamata teorema dell'energia cinetica. Riscriviamo quindi l'uguaglianza (1.6 a)

ascia=(V 2 –V 0 2)/2.

Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per la massa della particella, otteniamo

Fx=m(V2 –V02)/2.

Finalmente

LA=m V2/2 – M V02/2. (2.9.1)

Misurare E=M V 2 /2 è detta energia cinetica della particella.

Sei abituato al fatto che in geometria i teoremi hanno la loro formulazione orale. Per restare al passo con questa tradizione, presentiamo il teorema sull'energia cinetica in forma testuale.

La variazione dell'energia cinetica di un corpo è pari al lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su di esso.

Questo teorema è universale, vale cioè per qualsiasi tipo di movimento. Tuttavia, la sua dimostrazione esatta implica l’uso del calcolo integrale. Pertanto lo omettiamo.

Consideriamo un esempio del movimento di un corpo in un campo gravitazionale. Il lavoro di gravità non dipende dal tipo di traiettoria che collega i punti iniziale e finale, ma è determinato solo dalla differenza di altezze nelle posizioni iniziale e finale:

A=mg( H 1 –H 2). (2.9.2)

Prendiamo come origine un punto nel campo gravitazionale e consideriamo il lavoro compiuto dalla forza di gravità quando si sposta una particella da un altro punto arbitrario a questo punto R, situato ad una quota H. Questo lavoro è uguale a mgh e si chiama energia potenziale E n particelle in un punto R:

E n = mgh(2.9.3)

Ora trasformiamo l'uguaglianza (2.9.1), prende forma il teorema meccanico sull'energia cinetica

LA=m V2/2 – M V02/2= E p1 – E p2. (2.9.4)

M V2/2+ E n2 = M V02/2+ E p1.

In questa uguaglianza, sul lato sinistro c'è la somma dell'energia cinetica e potenziale nel punto finale della traiettoria e sul lato destro nel punto iniziale.

Questa quantità è chiamata energia meccanica totale. Lo indicheremo E.

E=E k+ E P.

Siamo arrivati ​​alla legge di conservazione dell'energia totale: in un sistema chiuso l'energia totale si conserva.

Occorre però fare una nota. Mentre stavamo guardando un esempio del cosiddetto forze conservatrici. Queste forze dipendono solo dalla posizione nello spazio. E il lavoro compiuto da tali forze quando si sposta un corpo da una posizione all'altra dipende solo da queste due posizioni e non dipende dal percorso. Il lavoro compiuto da una forza conservativa è meccanicamente reversibile, cambia cioè segno quando il corpo ritorna nella posizione originaria. La gravità è una forza conservativa. In futuro faremo conoscenza con altri tipi di forze conservatrici, ad esempio con la forza dell'interazione elettrostatica.

Ma in natura ce ne sono anche forze non conservatrici. Ad esempio, la forza di attrito radente. Più lungo è il percorso di una particella, maggiore è il lavoro compiuto dalla forza di attrito radente che agisce su questa particella. Inoltre, il lavoro della forza di attrito radente è sempre negativo, cioè tale forza non può “restituire” energia.

Nei sistemi chiusi l’energia totale si conserva, ovviamente. Ma per la maggior parte dei problemi di meccanica è più importante un caso speciale della legge di conservazione dell'energia, vale a dire la legge di conservazione dell'energia meccanica totale. Ecco le sue parole.

Se su un corpo agiscono solo forze conservative, la sua energia meccanica totale, definita come la somma dell’energia cinetica e potenziale, si conserva.

In quanto segue avremo bisogno di altre due uguaglianze importanti. Come sempre, sostituiremo la conclusione con una semplice dimostrazione di un caso speciale del campo gravitazionale. Ma la forma di queste uguaglianze sarà valida per qualsiasi forza conservatrice.

Riduciamo l'uguaglianza (2.9.4) alla forma

A=F∆x=E p1 – E n2 = –( E p.kon – E n.beg)= – ∆U.

Qui abbiamo guardato il lavoro UN quando si sposta un corpo ad una distanza ∆ X. Il valore ∆U, pari alla differenza tra l'energia potenziale finale e quella iniziale, è chiamato variazione di energia potenziale. E l'uguaglianza risultante merita una linea separata e un numero speciale. Affrettiamoci ad assegnarglielo:

A=– ∆U (2.9.5)

Da qui segue la relazione matematica tra forza ed energia potenziale:

F= – ∆U/∆ X(2.9.6)

Nel caso generale, non correlato al campo gravitazionale, l’uguaglianza (2.9.6) è l’equazione differenziale più semplice

F= – dU/dx.

Consideriamo l'ultimo esempio senza dimostrazione. La forza gravitazionale è descritta dalla legge di gravitazione universale F(r)=GmM/r 2 ed è conservatore. L’espressione dell’energia potenziale del campo gravitazionale ha la forma:

U(r)= –GmM/r.

Autore: – Consideriamo un caso semplice. Un corpo di massa m posto su un piano orizzontale subisce l'azione di T forza orizzontale F. Non c'è attrito. Qual è il lavoro svolto dalla forza? F?

Alunno: – Durante T il corpo si sposterà di una distanza S= A 2/2, dove UN=F/M. Pertanto, il lavoro richiesto è UN=F S= F 2 T 2/(2m).

Autore: Tutto è corretto se presupponiamo che il corpo fosse a riposo prima che la forza cominciasse ad agire su di lui. Complichiamo un po' il compito. Lasciamo che il corpo si muova rettilineo ed uniformemente prima dell'inizio della forza con una certa velocità V 0, co-diretta con la forza esterna. Qual è il lavoro svolto in tempo adesso? T?

Alunno: – Per calcolare lo spostamento, prenderò una formula più generale S= V 0 T+A 2/2, lo prendo per lavoro UN=F(V0 T+A 2/2). Confrontando con il risultato precedente, vedo che la stessa forza produce lavoro diverso negli stessi periodi di tempo.

Un corpo di massa m scivola lungo un piano inclinato con un angolo di inclinazione α. Coefficiente di attrito radente di un corpo su un piano K. Sul corpo agisce continuamente una forza orizzontale F. Qual è il lavoro compiuto da questa forza quando si sposta il corpo di una distanza S?

Alunno: – Sistemiamo le forze e troviamo la loro risultante. Sul corpo agisce una forza esterna F, oltre alle forze di gravità, di reazione di sostegno e di attrito.

Alunno: – Risulta che il lavoro A = F S cosα e basta. Sono rimasto davvero deluso dall'abitudine di cercare ogni volta tutte le forze, soprattutto perché il problema indicava la massa e il coefficiente di attrito.

Alunno: – Lavoro di forza F Ho già calcolato: A 1 = F S cosα. Il lavoro compiuto dalla gravità è A 2 =mgS peccatoα. Il lavoro della forza di attrito ... è negativo, poiché i vettori forza e spostamento hanno direzioni opposte: A 3 = – kmgS cosα. Lavoro della forza di reazione Nè uguale a zero, perché la forza e lo spostamento sono perpendicolari. È vero che non capisco bene il significato del lavoro negativo?

Autore: – Ciò significa che il lavoro di una data forza riduce l'energia cinetica del corpo. A proposito. Discutiamo il movimento del corpo mostrato in Fig. 2.9.1 dal punto di vista della legge di conservazione dell'energia. Innanzitutto, trova il lavoro totale compiuto da tutte le forze.

Alunno: - UN= UN 1 + UN 2 + UN 3 =FS cosα+mgS peccatoα– kmgS cosα.

Secondo il teorema dell’energia cinetica, la differenza tra le energie cinetiche nello stato finale e in quello iniziale è pari al lavoro compiuto sul corpo:

E A - E n = UN.

Alunno: – Forse queste erano altre equazioni non correlate a questo problema?

Autore: – Ma tutte le equazioni dovrebbero dare lo stesso risultato. Il punto è che l'energia potenziale è contenuta latente nell'espressione del lavoro totale. Ricorda infatti A 2 = mgS peccatoα=mgh, dove h è l'altezza di discesa del corpo. Ottieni ora dal teorema dell'energia cinetica un'espressione per la legge di conservazione dell'energia.

Alunno: – Poiché mgh=U n – U k, dove U n e U k sono rispettivamente l’energia potenziale iniziale e finale del corpo, abbiamo:

M V n2/2+ U n+ UN 1 + UN 3 = m V a 2/2+ U A.

Alunno: – Questo, secondo me, è facile. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è esattamente uguale in grandezza alla quantità di calore Q. Ecco perché Q= kmgS cosα.

Alunno: M V n2/2+ U n+ UN 1 – Q= m V a 2/2+ U A.

Autore: – Ora generalizziamo un po' la definizione di lavoro. Il fatto è che la relazione (2.9.1) è vera solo nel caso di una forza costante. Sebbene ci siano molti casi in cui la forza stessa dipende dal movimento della particella. Dare un esempio.

Alunno: – La prima cosa che mi viene in mente è lo stretching primaverile. Quando l'estremità libera della molla si muove, la forza aumenta. Il secondo esempio riguarda il pendolo che, come sappiamo, è più difficile da mantenere in caso di grandi deviazioni dalla posizione di equilibrio.

Autore: – Bene. Consideriamo l'esempio della primavera. La forza elastica di una molla ideale è descritta dalla legge di Hooke, secondo la quale quando la molla viene compressa (o allungata) di una quantità X si genera una forza opposta allo spostamento, linearmente dipendente da X. Scriviamo la legge di Hooke come un'uguaglianza:

F= – k X (2.9.2)

Qui k è il coefficiente di rigidezza della molla, X– la quantità di deformazione della molla. Disegna un grafico della relazione F(X).

Alunno: Il mio disegno è mostrato nell'immagine.

Fig.2.9.2

La metà sinistra del grafico corrisponde alla compressione della molla, mentre la metà destra corrisponde alla tensione.

Autore: – Ora calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza F quando ci si sposta da X=0 a X= S. Esiste una regola generale per questo. Se conosciamo la dipendenza generale della forza dallo spostamento, allora il lavoro sulla sezione da x 1 a x 2 è l'area sotto la curva F (x) su questo segmento.

Alunno: – Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza elastica quando si sposta un corpo da X=0 a X=S è negativo e il suo modulo è uguale all'area di un triangolo rettangolo: UN= kS2/2.

UN=k X 2 /2. (2.9.3)

Questo lavoro viene convertito in energia potenziale della molla deformata.

Storia.

Rutherford dimostrò agli ascoltatori il decadimento del radio. Lo schermo si illuminava e si oscurava alternativamente.

– Ora capisci – disse Rutherford, – che nulla è visibile. E perché nulla è visibile, ora lo vedrai.

Cominciamo con una definizione. Lavoro UN forza F quando ci si sposta X del corpo a cui è applicato è definito come il prodotto scalare di vettori F E X .

A= F x= Fxcosα. (2.9.1)

Dove α – l’angolo tra le direzioni della forza e dello spostamento.

Ora avremo bisogno dell'espressione (1.6 a), ottenuta per il movimento uniformemente accelerato. Ma trarremo una conclusione universale, chiamata teorema dell'energia cinetica. Riscriviamo quindi l'uguaglianza (1.6 a)

UN· X=(V 2 –V 0 2)/2.

Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per la massa della particella, otteniamo

Fx=m(V2 –V02)/2.

Finalmente

A= M V2/2 – M V02/2. (2.9.1)

Misurare E= M V 2 /2 è detta energia cinetica della particella.

Sei abituato al fatto che in geometria i teoremi hanno la loro formulazione orale. Per restare al passo con questa tradizione, presentiamo il teorema sull'energia cinetica in forma testuale.

La variazione dell'energia cinetica di un corpo è pari al lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su di esso.

Questo teorema è universale, vale cioè per qualsiasi tipo di movimento. Tuttavia, la sua dimostrazione esatta implica l’uso del calcolo integrale. Pertanto lo omettiamo.

Consideriamo un esempio del movimento di un corpo in un campo gravitazionale. Il lavoro di gravità non dipende dal tipo di traiettoria che collega i punti iniziale e finale, ma è determinato solo dalla differenza di altezze nelle posizioni iniziale e finale:

A=mg( H 1 –H 2). (2.9.2)

Prendiamo come origine un punto nel campo gravitazionale e consideriamo il lavoro compiuto dalla forza di gravità quando si sposta una particella da un altro punto arbitrario a questo punto R, situato ad una quota H. Questo lavoro è uguale a mgh e si chiama energia potenziale E n particelle in un punto R:

E n = mgh (2.9.3)

Ora trasformiamo l'uguaglianza (2.9.1), prende forma il teorema meccanico sull'energia cinetica

A= M V2/2 – M V02/2= E p1 – E p2. (2.9.4)

M V2/2+ E n2 = M V02/2+ E p1.

In questa uguaglianza, sul lato sinistro c'è la somma dell'energia cinetica e potenziale nel punto finale della traiettoria e sul lato destro nel punto iniziale.

Questa quantità è chiamata energia meccanica totale. Lo indicheremo E.

E=E k+ E P.

Siamo arrivati ​​alla legge di conservazione dell'energia totale: in un sistema chiuso l'energia totale si conserva.

Occorre però fare una nota. Mentre stavamo guardando un esempio del cosiddetto forze conservatrici. Queste forze dipendono solo dalla posizione nello spazio. E il lavoro compiuto da tali forze quando si sposta un corpo da una posizione all'altra dipende solo da queste due posizioni e non dipende dal percorso. Il lavoro compiuto da una forza conservativa è meccanicamente reversibile, cambia cioè segno quando il corpo ritorna nella posizione originaria. La gravità è una forza conservativa. In futuro faremo conoscenza con altri tipi di forze conservatrici, ad esempio con la forza dell'interazione elettrostatica.

Ma in natura ce ne sono anche forze non conservatrici. Ad esempio, la forza di attrito radente. Più lungo è il percorso di una particella, maggiore è il lavoro compiuto dalla forza di attrito radente che agisce su questa particella. Inoltre, il lavoro della forza di attrito radente è sempre negativo, cioè tale forza non può “restituire” energia.

Nei sistemi chiusi l’energia totale si conserva, ovviamente. Ma per la maggior parte dei problemi di meccanica è più importante un caso speciale della legge di conservazione dell'energia, vale a dire la legge di conservazione dell'energia meccanica totale. Ecco le sue parole.

Se su un corpo agiscono solo forze conservative, la sua energia meccanica totale, definita come la somma dell’energia cinetica e potenziale, si conserva.

In quanto segue avremo bisogno di altre due uguaglianze importanti. Come sempre, sostituiremo la conclusione con una semplice dimostrazione di un caso speciale del campo gravitazionale. Ma la forma di queste uguaglianze sarà valida per qualsiasi forza conservatrice.

Riduciamo l'uguaglianza (2.9.4) alla forma

A=F∆X= E p1 – E n2 = –( E p.kon – E n.beg)= – ∆U.

Qui abbiamo guardato il lavoro UN quando si sposta un corpo ad una distanza ∆ X. Il valore ∆U, pari alla differenza tra l'energia potenziale finale e quella iniziale, è chiamato variazione di energia potenziale. E l'uguaglianza risultante merita una linea separata e un numero speciale. Affrettiamoci ad assegnarglielo:

A=– ∆U (2.9.5)

Da qui segue la relazione matematica tra forza ed energia potenziale:

F= – ∆U/∆ X (2.9.6)

Nel caso generale, non correlato al campo gravitazionale, l’uguaglianza (2.9.6) è l’equazione differenziale più semplice

F= – dU/ dx.

Consideriamo l'ultimo esempio senza dimostrazione. La forza gravitazionale è descritta dalla legge di gravitazione universale F(R)= Gmm/ R 2 ed è conservatore. L’espressione dell’energia potenziale del campo gravitazionale ha la forma:

U(R)= – Gmm/ R.

Autore: – Consideriamo un caso semplice. Un corpo di massa m posto su un piano orizzontale subisce l'azione di T forza orizzontale F. Non c'è attrito. Qual è il lavoro svolto dalla forza? F?

Alunno: – Durante T il corpo si sposterà di una distanza S= UNT 2/2, dove UN=F/M. Pertanto, il lavoro richiesto è UN=F S= F 2 T 2/(2m).

Autore: Tutto è corretto se presupponiamo che il corpo fosse a riposo prima che la forza cominciasse ad agire su di lui. Complichiamo un po' il compito. Lasciamo che il corpo si muova rettilineo ed uniformemente prima dell'inizio della forza con una certa velocità V 0, co-diretta con la forza esterna. Qual è il lavoro svolto in tempo adesso? T?

Alunno: – Per calcolare lo spostamento, prenderò una formula più generale S= V 0 T+UNT 2/2, lo prendo per lavoro UN=F(V0 T+UNT 2/2). Confrontando con il risultato precedente, vedo che la stessa forza produce lavoro diverso negli stessi periodi di tempo.

Un corpo di massa m scivola lungo un piano inclinato con un angolo di inclinazione α. Coefficiente di attrito radente di un corpo su un piano K. Sul corpo agisce continuamente una forza orizzontale F. Qual è il lavoro compiuto da questa forza quando si sposta il corpo di una distanza S?

Alunno: – Sistemiamo le forze e troviamo la loro risultante. Sul corpo agisce una forza esterna F, oltre alle forze di gravità, di reazione di sostegno e di attrito.

Alunno: – Risulta che il lavoro A = F S cosα e basta. Sono rimasto davvero deluso dall'abitudine di cercare ogni volta tutte le forze, soprattutto perché il problema indicava la massa e il coefficiente di attrito.

Alunno: – Lavoro di forza F Ho già calcolato: A 1 = F S cosα. Il lavoro compiuto dalla gravità è A 2 =mgS peccatoα. Il lavoro della forza di attrito ... è negativo, poiché i vettori forza e spostamento hanno direzioni opposte: A 3 = – kmgS cosα. Lavoro della forza di reazione Nè uguale a zero, perché la forza e lo spostamento sono perpendicolari. È vero che non capisco bene il significato del lavoro negativo?

Autore: – Ciò significa che il lavoro di una data forza riduce l'energia cinetica del corpo. A proposito. Discutiamo il movimento del corpo mostrato in Fig. 2.9.1 dal punto di vista della legge di conservazione dell'energia. Innanzitutto, trova il lavoro totale compiuto da tutte le forze.

Alunno: - UN= UN 1 + UN 2 + UN 3 =FS cosα+mgS peccatoα– kmgS cosα.

Secondo il teorema dell’energia cinetica, la differenza tra le energie cinetiche nello stato finale e in quello iniziale è pari al lavoro compiuto sul corpo:

E A - E n = UN.

Alunno: – Forse queste erano altre equazioni non correlate a questo problema?

Autore: – Ma tutte le equazioni dovrebbero dare lo stesso risultato. Il punto è che l'energia potenziale è contenuta latente nell'espressione del lavoro totale. Ricorda infatti A 2 = mgS peccatoα=mgh, dove h è l'altezza di discesa del corpo. Ottieni ora dal teorema dell'energia cinetica un'espressione per la legge di conservazione dell'energia.

Alunno: – Poiché mgh=U n – U k, dove U n e U k sono rispettivamente l’energia potenziale iniziale e finale del corpo, abbiamo:

M V n2/2+ U n+ UN 1 + UN 3 = m V a 2/2+ U A.

Alunno: – Questo, secondo me, è facile. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è esattamente uguale in grandezza alla quantità di calore Q. Ecco perché Q= kmgS cosα.

Alunno: M V n2/2+ U n+ UN 1 – Q= m V a 2/2+ U A.

Autore: – Ora generalizziamo un po' la definizione di lavoro. Il fatto è che la relazione (2.9.1) è vera solo nel caso di una forza costante. Sebbene ci siano molti casi in cui la forza stessa dipende dal movimento della particella. Dare un esempio.

Alunno: – La prima cosa che mi viene in mente è lo stretching primaverile. Quando l'estremità libera della molla si muove, la forza aumenta. Il secondo esempio riguarda il pendolo che, come sappiamo, è più difficile da mantenere in caso di grandi deviazioni dalla posizione di equilibrio.

Autore: – Bene. Consideriamo l'esempio della primavera. La forza elastica di una molla ideale è descritta dalla legge di Hooke, secondo la quale quando la molla viene compressa (o allungata) di una quantità X si genera una forza opposta allo spostamento, linearmente dipendente da X. Scriviamo la legge di Hooke come un'uguaglianza:

F= – k X (2.9.2)

Qui k è il coefficiente di rigidezza della molla, X– la quantità di deformazione della molla. Disegna un grafico della relazione F(X).

Alunno: Il mio disegno è mostrato nell'immagine.

Fig.2.9.2

La metà sinistra del grafico corrisponde alla compressione della molla, mentre la metà destra corrisponde alla tensione.

Autore: – Ora calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza F quando ci si sposta da X=0 a X= S. Esiste una regola generale per questo. Se conosciamo la dipendenza generale della forza dallo spostamento, allora il lavoro sulla sezione dipende da x 1 fino ax 2 è l'area sotto la curvaF(X) su questo segmento.

Alunno: – Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza elastica quando si sposta un corpo da X=0 a X=S è negativo e il suo modulo è uguale all'area di un triangolo rettangolo: UN= kS2/2.

UN=k X 2 /2. (2.9.3)

Questo lavoro viene convertito in energia potenziale della molla deformata.

Storia.

Rutherford dimostrò agli ascoltatori il decadimento del radio. Lo schermo si illuminava e si oscurava alternativamente.

- Ora capisci – disse Rutherford, – che nulla è visibile. E perché nulla è visibile, ora lo vedrai.

Domande e compiti

1. Elencare le situazioni incontrate nella vita quotidiana in cui sono coinvolte forze non conservatrici.

2. Sollevi lentamente il libro dal tavolo su uno scaffale alto. Elenca le forze che agiscono sul libro e determina quali sono conservatrici e quali no.

3. La forza risultante che agisce sulla particella è conservativa e aumenta la sua energia cinetica di 300 J. Qual è la variazione di a) energia potenziale della particella, b) sua energia totale?

4. Ha senso fisico la seguente affermazione: l'utilizzo di pali in plastica flessibile nei salti in alto ha portato ad un aumento dei risultati dovuto al fatto che la loro maggiore flessibilità fornisce ulteriore energia elastica, convertita in energia potenziale del campo gravitazionale?

5. C'è un piano inclinato, un'estremità del quale è sollevata ad un'altezza N. Massa corporea M rotola giù (senza velocità iniziale) dal punto più alto. La velocità di questo corpo alla base del piano inclinato dipende dall'angolo che forma con l'orizzonte, se a) non c'è attrito, b) c'è attrito?

6. Perché ci stanchiamo ancora quando prima saliamo su una montagna e poi la scendiamo? Dopotutto, il lavoro totale svolto in un campo gravitazionale è zero.

7. Questo esempio è ancora più difficile. Immagina di tenere un manubrio a distanza di un braccio. Non preoccuparti, non è molto pesante. Ma la mano continua a stancarsi. Ma non c’è lavoro meccanico, perché non c’è movimento. Dove va l’energia dei tuoi muscoli?

8. Messa primaverile M poggia in posizione verticale sul tavolo. Riuscirà la molla a saltare e staccarsi dal tavolo dopo averla compressa, premendo dall'alto, e poi rilasciata? Spiega la tua risposta utilizzando la legge di conservazione dell’energia.

9. Cosa succede all'energia potenziale che aveva l'acqua nella parte superiore della cascata quando l'acqua raggiunge la sua base? Cosa succede all’energia cinetica e totale?

10. I turisti esperti preferiscono scavalcare un tronco caduto, piuttosto che calpestarlo e saltare dal lato opposto. Spiegare il fenomeno.

11. Due persone si trovano su piattaforme diverse che si muovono l'una rispetto all'altra con velocità V. Osservano un tronco che viene trascinato lungo una superficie orizzontale ruvida. I valori ottenuti da queste persone coincidono: a) energia cinetica del tronco; b) lavoro totale svolto sul corpo; c) energia meccanica convertita in energia termica per la presenza di attrito? La risposta alla domanda c) non contraddice le risposte alle domande a) eb)?

12. Da dove proviene l'energia cinetica di un'auto quando accelera uniformemente da uno stato di riposo? Come possiamo mettere in relazione l'aumento dell'energia cinetica con la presenza di attrito tra i pneumatici e l'autostrada?

13. In inverno, la Terra si avvicina al Sole alla distanza più breve. Quando è massima l'energia potenziale della Terra?

14 L'energia meccanica totale può essere negativa? Dare esempi.

15. In quale punto la forza è maggiore? Per ogni punto numerato, indicare in quale direzione agisce la forza. Quale punto corrisponde alla posizione di equilibrio?

Compiti

16. Un proiettile penetra una tavola fissa ad una velocità minima di 200 SM. A quale velocità deve viaggiare il proiettile per perforare questa tavola sospesa ad un lungo filo? Peso del proiettile 15 G, peso della tavola 90 G, il proiettile colpisce esattamente il centro della tavola perpendicolarmente alla sua superficie.

17. Palla di legno di massa M =1 kgè appeso a una corda in modo che la distanza dal punto di sospensione della corda al centro della palla sia uguale a l= 1 M. La palla viene colpita da un aereo che vola orizzontalmente a grande velocità V 1 =400 SM massa del proiettile M= 10 G, che perfora la palla esattamente lungo il suo diametro e ne vola fuori ad alta velocità V 2 =230 SM. Definire l'angolo  deviazione massima della sospensione dalla verticale. Trascurare la resistenza dell'aria e il tempo impiegato da un proiettile per penetrare nella palla.

18. Su un piano inclinato rispetto all'orizzonte di un angolo α, due corpi di massa M. Coefficiente di attrito tra corpi e piano K>tgα. Ai corpi vengono date le stesse controvelocità V. A quale distanza massima iniziale l si scontreranno tra i corpi?

19. Il carrello rotola lungo binari lisci formando un anello verticale di raggio R. Da quale altezza minima H min il carrello deve rotolare in modo da non uscire dai binari per tutta la sua lunghezza? Quale sarà il movimento del carro se rotola giù da un'altezza? H, più piccola H minimo?

20. Determinare la forza che agisce sulla parete verticale dal manubrio che cade nel momento in cui l'asse del manubrio forma un angolo  con l'orizzontale. Il manubrio inizia il suo movimento da una posizione verticale senza velocità iniziale. La massa di ciascuna palla con manubrio è m.

21. Su una lunghezza del filo 2 H peso sospeso M. A distanza H un chiodo viene piantato sotto il punto di sospensione. Il filo è stato deviato dalla posizione di equilibrio di un angolo di /2 e rilasciato. A quale altezza massima salirà il peso dopo aver attraversato la posizione di equilibrio?

22. Stand di massa M con raggio di incavo emisferico R poggia su un piano orizzontale liscio. Piccolo corpo di massa M Posizionatelo sul bordo della tacca e rilasciatelo. Trova la velocità del corpo e della posizione, la forza che agisce sul corpo al momento del passaggio nel punto più basso

23. Massa ponderale M, sospeso su una molla di irrigidimento K, viene trattenuto dal supporto in modo che la molla sia in uno stato indeformato. Il supporto viene improvvisamente rimosso. Trovare l'allungamento massimo della molla e la velocità massima del carico.

24. Da un carico sospeso su una molla di irrigidimento K, una parte della massa si stacca M. A quale altezza salirà poi la parte rimanente del carico?

25. Quanta forza deve essere applicata alla massa superiore? M, in modo che il carico inferiore pesi M, collegato alla molla di irrigidimento superiore K, si è staccato dal pavimento dopo che la forza è cessata?

26. Due corpi dotati di massa giacciono su un piano orizzontale M 1 e M 2 collegati da una molla indeformata. Trova qual è la più piccola forza costante che deve essere applicata al corpo sinistro affinché quello destro si muova. Il coefficiente di attrito tra i corpi e un piano è .