Deformationer och rörelser. Hookes lag

Hookes lag upptäcktes på 1600-talet av engelsmannen Robert Hooke. Denna upptäckt om sträckning av en fjäder är en av elasticitetsteorins lagar och spelar en viktig roll inom vetenskap och teknik.

Definition och formel för Hookes lag

Formuleringen av denna lag är som följer: den elastiska kraften som uppträder i ögonblicket för deformation av en kropp är proportionell mot kroppens förlängning och är riktad mot rörelsen av partiklar i denna kropp i förhållande till andra partiklar under deformation.

Den matematiska notationen av lagen ser ut så här:

Ris. 1. Formel för Hookes lag

Var Fupr– följaktligen den elastiska kraften, x– förlängning av kroppen (avståndet med vilket den ursprungliga längden på kroppen ändras), och k– proportionalitetskoefficient, kallad kroppsstyvhet. Kraft mäts i Newton och förlängning av en kropp mäts i meter.

För att avslöja den fysiska innebörden av styvhet måste du ersätta enheten där förlängningen mäts i formeln för Hookes lag - 1 m, efter att tidigare ha fått ett uttryck för k.

Ris. 2. Kroppsstyvhetsformel

Denna formel visar att en kropps styvhet är numeriskt lika med den elastiska kraften som uppstår i kroppen (fjädern) när den deformeras med 1 m. Det är känt att styvheten hos en fjäder beror på dess form, storlek och materialet som kroppen är gjord av.

Elastisk kraft

Nu när vi vet vilken formel som uttrycker Hookes lag är det nödvändigt att förstå dess grundläggande värde. Huvudmängden är den elastiska kraften. Det dyker upp i ett visst ögonblick när kroppen börjar deformeras, till exempel när en fjäder trycks ihop eller sträcks. Den är riktad i motsatt riktning från gravitationen. När den elastiska kraften och tyngdkraften som verkar på kroppen blir lika, stannar stödet och kroppen.

Deformation är en irreversibel förändring som sker i kroppens storlek och dess form. De är förknippade med partiklars rörelse i förhållande till varandra. Om en person sitter i en mjuk stol kommer stolen att deformeras, det vill säga dess egenskaper kommer att förändras. Det finns i olika typer: böjning, sträckning, kompression, skjuvning, torsion.

Eftersom den elastiska kraften till sin ursprung är relaterad till elektromagnetiska krafter bör du veta att den uppstår på grund av att molekyler och atomer - de minsta partiklarna som utgör alla kroppar - attraherar och stöter bort varandra. Om avståndet mellan partiklarna är mycket litet, så påverkas de av den frånstötande kraften. Om detta avstånd ökas, kommer attraktionskraften att verka på dem. Således visar sig skillnaden mellan attraktionskrafter och frånstötande krafter i elastiska krafter.

Den elastiska kraften inkluderar markens reaktionskraft och kroppsvikt. Styrkan i reaktionen är av särskilt intresse. Detta är kraften som verkar på en kropp när den placeras på vilken yta som helst. Om kroppen är upphängd kallas kraften som verkar på den trådens spänningskraft.

Egenskaper av elastiska krafter

Som vi redan har upptäckt uppstår den elastiska kraften under deformation, och den syftar till att återställa de ursprungliga formerna och storlekarna strikt vinkelrät mot den deformerade ytan. Elastiska krafter har också ett antal egenskaper.

• de uppstår under deformation;
• de uppträder i två deformerbara kroppar samtidigt;
• de är vinkelräta mot ytan i förhållande till vilken kroppen är deformerad.
• de är motsatta i riktning mot förskjutningen av kroppspartiklar.

Tillämpning av lagen i praktiken

Hookes lag tillämpas både i tekniska och högteknologiska enheter och i naturen själv. Till exempel finns elastiska krafter i klockmekanismer, i stötdämpare vid transport, i rep, gummiband och till och med i mänskliga ben. Principen för Hookes lag ligger till grund för dynamometern, en anordning som används för att mäta kraft.

Utbildningsministeriet i den autonoma republiken Krim

Tauride National University uppkallad efter. Vernadsky

Studie av fysisk lag

HOOKES LAG

Genomförd av: 1:a årsstudent

Fysiska fakulteten gr. F-111

Potapov Evgenij

Simferopol-2010

Planen:

Sambandet mellan vilka företeelser eller kvantiteter uttrycks av lagen.

Lagförklaring

Matematiskt uttryck för lagen.

Hur upptäcktes lagen: baserat på experimentella data eller teoretiskt?

Erfaren fakta utifrån vilken lagen formulerades.

Experiment som bekräftar lagens giltighet formulerad på grundval av teorin.

Exempel på att använda lagen och att ta hänsyn till lagens verkan i praktiken.

Litteratur.

Förhållandet mellan vilka fenomen eller kvantiteter som uttrycks av lagen:

Hookes lag relaterar till fenomen som spänning och deformation av en solid, elasticitetsmodul och töjning. Modulen för den elastiska kraften som uppstår under deformation av en kropp är proportionell mot dess förlängning. Förlängning är ett kännetecken för deformerbarheten hos ett material, bedömd genom ökningen i längden av ett prov av detta material när det sträcks. Elastisk kraft är en kraft som uppstår vid deformation av en kropp och motverkar denna deformation. Stress är ett mått på inre krafter som uppstår i en deformerbar kropp under påverkan av yttre påverkan. Deformation är en förändring i den relativa positionen för partiklar i en kropp som är förknippade med deras rörelse i förhållande till varandra. Dessa begrepp är relaterade till den så kallade styvhetskoefficienten. Det beror på materialets elastiska egenskaper och kroppens storlek.

Lagförklaring:

Hookes lag är en ekvation av elasticitetsteorin som relaterar spänning och deformation av ett elastiskt medium.

Lagens formulering är att den elastiska kraften är direkt proportionell mot deformationen.

Matematiskt uttryck för lagen:

För en tunn dragstång har Hookes lag formen:

Här F stavspänningskraft, Δ l- dess förlängning (kompression), och k kallad elasticitetskoefficient(eller stelhet). Minus i ekvationen indikerar att dragkraften alltid är riktad i motsatt riktning mot deformationen.

Om du anger den relativa förlängningen

och normal spänning i tvärsnittet

då kommer Hookes lag att skrivas så här

I detta formulär är det giltigt för alla små volymer av materia.

I det allmänna fallet är spänning och töjning tensorer av andra rangen i tredimensionellt utrymme (de har 9 komponenter vardera). Tensorn av elastiska konstanter som förbinder dem är en tensor av fjärde rang C ijkl och innehåller 81 koefficienter. På grund av tensorns symmetri C ijkl, såväl som stress- och töjningstensorer, är endast 21 konstanter oberoende. Hookes lag ser ut så här:

där σ I j- spänningstensor, - spänningstensor. För ett isotropiskt material, tensorn C ijkl innehåller endast två oberoende koefficienter.

Hur upptäcktes lagen: baserat på experimentella data eller teoretiskt:

Lagen upptäcktes 1660 av den engelske vetenskapsmannen Robert Hooke (Hook) baserat på observationer och experiment. Upptäckten, som Hooke säger i hans verk "De potentia restitutiva", publicerad 1678, gjordes av honom 18 år tidigare, och 1676 placerades den i en annan av hans böcker under täckmantel av anagrammet "ceiiinosssttuv", vilket betyder "Ut tensio sic vis" . Enligt författarens förklaring gäller ovanstående proportionalitetslag inte bara för metaller, utan även för trä, stenar, horn, ben, glas, siden, hår m.m.

Erfarna fakta på grundval av vilka lagen formulerades:

Historien är tyst om detta...

Experiment som bekräftar giltigheten av lagen formulerad på grundval av teorin:

Lagen är formulerad på basis av experimentella data. Faktum är att när man sträcker en kropp (tråd) med en viss styvhetskoefficient k till ett avstånd Δ jag, då kommer deras produkt att vara lika stor som kraften som sträcker ut kroppen (tråden). Detta förhållande kommer dock att gälla inte för alla deformationer, utan för små. Med stora deformationer upphör Hookes lag att gälla och kroppen kollapsar.

Exempel på användning av lagen och beaktande av lagens verkan i praktiken:

Som följer av Hookes lag, kan förlängningen av en fjäder användas för att bedöma kraften som verkar på den. Detta faktum används för att mäta krafter med hjälp av en dynamometer - en fjäder med en linjär skala kalibrerad för olika kraftvärden.

Litteratur.

1. Internetresurser: - Wikipedias webbplats (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. lärobok i fysik Peryshkin A.V. 9: e klass

3. lärobok i fysik V.A. Kasyanov 10:e klass

4. föreläsningar om mekanik Ryabushkin D.S.

När en stav sträcks och komprimeras ändras dess längd och tvärsnittsdimensioner. Om du mentalt väljer från ett spö i odeformerat tillstånd ett element av längd dx, sedan efter deformation kommer dess längd att vara lika med dx((Fig. 3.6). I detta fall den absoluta förlängningen i axelns riktning Åh kommer att vara lika

och den relativa linjära deformationen e x bestäms av jämlikhet

Eftersom axeln Åh sammanfaller med stavens axel längs vilken externa belastningar verkar, låt oss kalla deformationen e x longitudinell deformation, för vilken vi ytterligare kommer att utelämna indexet. Deformationer i riktningar vinkelräta mot axeln kallas tvärgående deformationer. Om vi ​​betecknar med b karaktäristisk storlek på tvärsnittet (fig. 3.6), då bestäms tvärdeformationen av förhållandet

Relativa linjära deformationer är dimensionslösa storheter. Det har fastställts att tvärgående och längsgående deformationer under central spänning och kompression av stången är relaterade till varandra genom förhållandet

Kvantiteten v som ingår i denna likhet kallas Poissons förhållande eller tvärtöjningskoefficient. Denna koefficient är en av materialets huvudsakliga elastiska konstanter och kännetecknar dess förmåga att genomgå tvärgående deformationer. För varje material bestäms det från ett drag- eller kompressionsexperiment (se § 3.5) och beräknas med formeln

Som följer av likhet (3.6) har longitudinella och tvärgående deformationer alltid motsatta tecken, vilket bekräftar det uppenbara faktumet - under spänning minskar tvärsnittsdimensionerna och under kompression ökar de.

Poissons förhållande är olika för olika material. För isotropa material kan det ta värden från 0 till 0,5. Till exempel, för balsaträ är Poissons förhållande nära noll, och för gummi är det nära 0,5. För många metaller vid normala temperaturer ligger Poissons förhållande i intervallet 0,25+0,35.

Som har fastställts i många experiment finns det för de flesta konstruktionsmaterial vid små deformationer ett linjärt samband mellan spänningar och töjningar

Denna proportionalitetslag fastställdes först av den engelske vetenskapsmannen Robert Hooke och kallas Hookes lag.

Konstanten som ingår i Hookes lag E kallas elasticitetsmodulen. Elasticitetsmodulen är den andra huvudsakliga elasticitetskonstanten för ett material och kännetecknar dess styvhet. Eftersom deformationer är dimensionslösa storheter, följer det av (3.7) att elasticitetsmodulen har dimensionen spänning.

I tabell Tabell 3.1 visar värdena på elasticitetsmodulen och Poissons förhållande för olika material.

Vid design och beräkning av strukturer, tillsammans med beräkning av spänningar, är det också nödvändigt att bestämma förskjutningarna av enskilda punkter och noder av strukturer. Låt oss överväga en metod för att beräkna förskjutningar under central spänning och kompression av stavar.

Absolut förlängning av elementets längd dx(Fig. 3.6) enligt formel (3.5) är lika med

Tabell 3.1

Materialets namn	Elasticitetsmodul, MPa	Koefficient Poisson
Kolstål
Aluminiumlegeringar
Titanlegeringar
	(1,15-s-1,6) 10 5
längs säden	(0,1 ^ 0,12) 10 5
tvärs över kornet	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
Murverk	(0,027 +0,03)-10 5
Glasfiber SVAM
Textolit	(0,07 + 0,13)-10 5
Gummi på gummi

Om vi ​​integrerar detta uttryck över intervallet från 0 till x, får vi

Var deras) - axiell förskjutning av en godtycklig sektion (Fig. 3.7), och C= u( 0) - axiell förskjutning av den initiala sektionen x = 0. Om denna sektion är fixerad, då är u(0) = 0 och förskjutningen av en godtycklig sektion är lika med

Förlängningen eller förkortningen av stången är lika med den axiella förskjutningen av dess fria ände (fig. 3.7), vars värde erhålls från (3.8), med x = 1:

Ersätta uttrycket för deformation med formel (3.8)? från Hookes lag (3.7) får vi

För en stav gjord av ett material med konstant elasticitetsmodul E axiella rörelser bestäms av formeln

Integralen som ingår i denna jämlikhet kan beräknas på två sätt. Den första metoden är att skriva funktionen analytiskt Åh) och efterföljande integration. Den andra metoden är baserad på det faktum att integralen i fråga är numeriskt lika med arean av diagrammet a i avsnittet. Introduktion av beteckningen

Låt oss överväga speciella fall. För ett spö sträckt av en koncentrerad kraft R(ris. 3.3, a), longitudinell kraft./V är konstant längs längden och lika med R. Spänningarna a enligt (3.4) är också konstanta och lika

Sedan från (3.10) får vi

Av denna formel följer att om spänningarna på en viss sektion av stången är konstanta, så ändras förskjutningarna enligt en linjär lag. Ersätter i den sista formeln x = 1, låt oss hitta stavens förlängning:

Arbete EF kallad styvheten hos stången vid spänning och kompression. Ju högre detta värde är, desto mindre förlängning eller förkortning av stången.

Låt oss betrakta en stång under verkan av en jämnt fördelad belastning (fig. 3.8). Den längsgående kraften i en godtycklig sektion belägen på ett avstånd x från fästet är lika med

Genom att dela N på F, vi får formeln för stress

Att ersätta detta uttryck i (3.10) och integrera, finner vi

Den största förskjutningen, lika med förlängningen av hela stången, erhålls genom att ersätta x = / in (3.13):

Från formlerna (3.12) och (3.13) är det tydligt att om spänningarna är linjärt beroende av x, så ändras förskjutningarna enligt lagen för en kvadratisk parabel. Diagram N, om och Och visas i fig. 3.8.

Allmänna differentialberoende anslutningsfunktioner deras) och a(x), kan erhållas från relation (3.5). Genom att ersätta e från Hookes lag (3.7) i denna relation finner vi

Av detta beroende följer i synnerhet mönstren av förändringar i funktionen som noteras i exemplen som diskuterats ovan deras).

Dessutom kan det noteras att om i något avsnitt stressen en sväng till noll, då i diagrammet Och det kan finnas ett extremum i detta avsnitt.

Som ett exempel, låt oss bygga ett diagram Och för staven som visas i fig. 3.2, sätta E- 10 4 MPa. Beräkna arean av en tomt O för olika områden hittar vi:

sektion x = 1 m:

sektion x = 3 m:

sektion x = 5 m:

På den övre delen av stavdiagrammet Ochär en kvadratisk parabel (fig. 3.2, e). I det här fallet, i avsnittet x = 1 m finns ett extremum. I den nedre delen är diagrammets karaktär linjär.

Den totala förlängningen av stången, som i detta fall är lika med

kan beräknas med formlerna (3.11) och (3.14). Eftersom den nedre delen av stången (se fig. 3.2, A) sträckt med våld R ( dess förlängning enligt (3.11) är lika med

Kraftåtgärd R (överförs också till den övre delen av stången. Dessutom komprimeras den med kraft R 2 och sträcks av en jämnt fördelad last q. I enlighet med detta beräknas förändringen i dess längd med formeln

Genom att summera värdena för A/ och A/2 får vi samma resultat som ovan.

Sammanfattningsvis bör det noteras att, trots den lilla förskjutningen och förlängningen (förkortningen) av stavarna under spänning och kompression, kan de inte försummas. Förmågan att beräkna dessa kvantiteter är viktig i många tekniska problem (till exempel vid installation av strukturer), såväl som för att lösa statiskt obestämda problem.

Som ni vet studerar fysiken alla naturlagarna: från naturvetenskapens enklaste till de mest allmänna principerna. Även i de områden där det verkar som om fysiken inte kan förstå, spelar den fortfarande en primär roll, och varje minsta lag, varje princip - ingenting undgår den.

I kontakt med

Det är fysiken som ligger till grund för grunderna;

Fysik studerar samspelet mellan alla kroppar, både paradoxalt nog liten och otroligt stor. Modern fysik studerar aktivt inte bara små, utan hypotetiska kroppar, och även detta kastar ljus över universums väsen.

Fysiken är indelad i sektioner, detta förenklar inte bara själva vetenskapen och dess förståelse, utan också studiemetodik. Mekanik handlar om kroppars rörelse och interaktion mellan rörliga kroppar, termodynamik handlar om termiska processer, elektrodynamik handlar om elektriska processer.

Varför ska mekanik studera deformation?

När du pratar om kompression eller spänning bör du ställa dig frågan: vilken gren av fysiken ska studera denna process? Vid kraftiga förvrängningar kan värme frigöras, kanske termodynamik borde hantera dessa processer? Ibland när vätskor komprimeras börjar det koka, och när gaser komprimeras bildas vätskor? Så, bör hydrodynamik förstå deformation? Eller molekylär kinetisk teori?

Allt beror på på deformationens kraft, på dess grad. Om det deformerbara mediet (material som är komprimerat eller sträckt) tillåter, och kompressionen är liten, är det vettigt att betrakta denna process som rörelsen av vissa punkter på kroppen i förhållande till andra.

Och eftersom frågan är rent relaterad betyder det att mekanikerna kommer att ta itu med den.

Hookes lag och villkoret för dess uppfyllande

År 1660 upptäckte den berömde engelske vetenskapsmannen Robert Hooke ett fenomen som kan användas för att mekaniskt beskriva deformationsprocessen.

För att förstå under vilka villkor Hookes lag är uppfylld, Låt oss begränsa oss till två parametrar:

• onsdag;
• tvinga.

Det finns medier (till exempel gaser, vätskor, speciellt viskösa vätskor nära fasta tillstånd eller omvänt mycket flytande vätskor) för vilka det är omöjligt att beskriva processen mekaniskt. Omvänt finns det miljöer där mekaniken, med tillräckligt stora krafter, slutar "fungera".

Viktig! På frågan: "Under vilka förhållanden är Hookes lag sann?", kan ett definitivt svar ges: "Vid små deformationer."

Hookes lag, definition: Deformationen som uppstår i en kropp är direkt proportionell mot kraften som orsakar den deformationen.

Naturligtvis innebär denna definition att:

• kompression eller stretching är liten;
• elastiskt föremål;
• den består av ett material där det inte finns några olinjära processer till följd av kompression eller spänning.

Hookes lag i matematisk form

Hookes formulering, som vi citerade ovan, gör det möjligt att skriva den i följande form:

var är förändringen i kroppens längd på grund av kompression eller sträckning, F är kraften som appliceras på kroppen och orsakar deformation (elastisk kraft), k är elasticitetskoefficienten, mätt i N/m.

Man bör komma ihåg att Hookes lag gäller endast små sträckor.

Vi noterar också att den har samma utseende när den sträcks och komprimeras. Med tanke på att kraften är en vektorkvantitet och har en riktning, kommer följande formel att vara mer exakt i fallet med kompression:

Men återigen, allt beror på var axeln i förhållande till som du mäter kommer att riktas.

Vad är den grundläggande skillnaden mellan komprimering och förlängning? Inget om det är obetydligt.

Graden av tillämplighet kan betraktas enligt följande:

Låt oss vara uppmärksamma på grafen. Som vi ser, med små sträckor (första fjärdedelen av koordinaterna) har kraften med koordinaten under lång tid ett linjärt samband (röd rät linje), men sedan blir det verkliga förhållandet (prickad linje) olinjär, och lagen upphör att vara sant. I praktiken återspeglas detta av så kraftig sträckning att fjädern slutar återgå till sitt ursprungliga läge och förlorar sina egenskaper. Med ännu mer stretching en fraktur uppstår och strukturen kollapsar material.

Med små kompressioner (tredje fjärdedelen av koordinaterna) har kraften med koordinaten under lång tid också ett linjärt samband (röd linje), men sedan blir det verkliga förhållandet (prickade linjen) olinjärt, och allt slutar fungera igen. I praktiken resulterar detta i så stark kompression att värme börjar släppas ut och fjädern förlorar sina egenskaper. Med ännu större kompression "häftar fjäderns spolar ihop" och den börjar deformeras vertikalt och smälter sedan helt.

Som du kan se låter formeln som uttrycker lagen dig hitta kraften, känna till förändringen i kroppens längd, eller, med kunskap om den elastiska kraften, mäta förändringen i längd:

I vissa fall kan du också hitta elasticitetskoefficienten. För att förstå hur detta görs, överväg ett exempel på uppgift:

En dynamometer är ansluten till fjädern. Den sträcktes genom att applicera en kraft på 20, på grund av vilken den blev 1 meter lång. Sedan släppte de henne, väntade tills vibrationerna upphörde och hon återgick till sitt normala tillstånd. I normalt skick var dess längd 87,5 centimeter. Låt oss försöka ta reda på vilket material fjädern är gjord av.

Låt oss hitta det numeriska värdet för fjäderdeformationen:

Härifrån kan vi uttrycka värdet på koefficienten:

Om vi ​​tittar på tabellen kan vi finna att denna indikator motsvarar fjäderstål.

Problem med elasticitetskoefficienten

Fysik är som vi vet en mycket exakt vetenskap, dessutom är den så precis att den har skapat hela tillämpade vetenskaper som mäter fel. En modell av orubblig precision, hon har inte råd att vara klumpig.

Övning visar att det linjära beroende vi ansåg inte är något annat än Hookes lag för en tunn och hållfast stav. Endast som ett undantag kan den användas för fjädrar, men även detta är oönskat.

Det visar sig att koefficienten k är ett variabelt värde som inte bara beror på vilket material kroppen är gjord av, utan också på diametern och dess linjära dimensioner.

Av denna anledning kräver våra slutsatser förtydligande och utveckling, eftersom formeln annars:

kan inte kallas något annat än ett beroende mellan tre variabler.

Youngs modul

Låt oss försöka räkna ut elasticitetskoefficienten. Denna parameter, som vi fick reda på, beror på tre kvantiteter:

• material (vilket passar oss ganska bra);
• längd L (vilket indikerar dess beroende av);
• område S.

Viktig! Således, om vi på något sätt lyckas "separera" längden L och arean S från koefficienten, kommer vi att få en koefficient som helt beror på materialet.

Vad vi vet:

• ju större kroppens tvärsnittsarea är, desto större koefficient k, och beroendet är linjärt;
• ju större kroppslängd, desto lägre koefficient k, och beroendet är omvänt proportionellt.

Det betyder att vi kan skriva elasticitetskoefficienten på detta sätt:

där E är en ny koefficient, som nu just beror enbart på typen av material.

Låt oss introducera begreppet "relativ förlängning":

. 

Slutsats

Låt oss formulera Hookes lag för spänning och kompression: För små kompressioner är normal spänning direkt proportionell mot töjningen.

Koefficienten E kallas Youngs modul och beror enbart på materialet.