Kinetik enerji teoremi nedir? Enerji - Fizikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık malzemeleri

1. Bir cismin kinetik enerjisi, cismin kütlesi ile hızının karesinin çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.

2. Kinetik enerji teoremi nedir?

2. Kuvvet işi (bileşke kuvvetler) vücudun kinetik enerjisindeki değişime eşittir.

3. Bir cisme uygulanan kuvvet pozitif iş yaparsa cismin kinetik enerjisi nasıl değişir? Negatif iş mi?

3. Bir cisme uygulanan kuvvet pozitif iş yaparsa cismin kinetik enerjisi artar, negatif iş yaparsa azalır.

4. Hız vektörünün yönü değiştiğinde cismin kinetik enerjisi de değişir mi?

4. Değişmez çünkü formülde V2 var.

5. Eşit kütleli iki top çok düzgün bir yüzey üzerinde eşit mutlak hızlarla birbirine doğru yuvarlanıyor. Toplar çarpışıyor, bir an duruyor ve sonra aynı mutlak hızlarla zıt yönlere doğru hareket ediyor. Çarpışmadan önce, çarpışma anında ve sonrasında toplam kinetik enerjileri nedir?

5. Çarpışmadan önceki toplam kinetik enerji.

Görüş: bu makale 48362 kez okundu

Pdf Dil seçin... Rusça Ukraynaca İngilizce

Kısa inceleme

Dil seçildikten sonra materyalin tamamı yukarıdan indirilir

Maddi bir noktanın veya noktalar sisteminin mekanik hareketinin iki dönüşüm durumu:

1. mekanik hareket, bir mekanik sistemden diğerine mekanik hareket olarak aktarılır;
2. mekanik hareket, maddenin başka bir hareket biçimine (potansiyel enerji, ısı, elektrik vb. biçimine) dönüşür.

Mekanik hareketin başka bir hareket biçimine geçmeden dönüşümü göz önüne alındığında, mekanik hareketin ölçüsü, maddi bir noktanın veya mekanik sistemin momentum vektörüdür. Bu durumda kuvvetin ölçüsü kuvvet darbesinin vektörüdür.

Mekanik hareket, maddenin başka bir hareket biçimine dönüştüğünde, maddi bir noktanın veya mekanik sistemin kinetik enerjisi, mekanik hareketin bir ölçüsü olarak hareket eder. Mekanik hareketi başka bir hareket biçimine dönüştürürken kuvvet eyleminin ölçüsü kuvvet işidir

Kinetik enerji

Kinetik enerji, vücudun hareket halindeyken bir engeli aşma yeteneğidir.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi, noktanın kütlesi ile hızının karesinin çarpımının yarısına eşit olan skaler bir miktardır.

Kinetik enerji:

• hem öteleme hem de dönme hareketlerini karakterize eder;
• sistem noktalarının hareket yönüne bağlı değildir ve bu yönlerdeki değişiklikleri karakterize etmez;
• Hem iç hem de dış kuvvetlerin eylemini karakterize eder.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi

Sistemin kinetik enerjisi, sistemdeki cisimlerin kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. Kinetik enerji, sistemdeki cisimlerin hareket tipine bağlıdır.

Farklı hareket türleri için katı bir cismin kinetik enerjisinin belirlenmesi.

Öteleme hareketinin kinetik enerjisi
Öteleme hareketi sırasında vücudun kinetik enerjisi eşittir T=M V2/2.

Bir cismin öteleme hareketi sırasındaki ataletinin ölçüsü kütledir.

Bir cismin dönme hareketinin kinetik enerjisi

Bir cismin dönme hareketi sırasında kinetik enerji, cismin dönme eksenine göre atalet momenti ile açısal hızının karesinin çarpımının yarısına eşittir.

Dönme hareketi sırasında bir cismin ataletinin bir ölçüsü atalet momentidir.

Bir cismin kinetik enerjisi cismin dönme yönüne bağlı değildir.

Bir cismin düzlemsel paralel hareketinin kinetik enerjisi

Bir cismin düzlemsel paralel hareketi ile kinetik enerji eşittir

Kuvvet işi

Kuvvet işi, bir hareket sırasında bir cisim üzerindeki kuvvetin etkisini karakterize eder ve hareket eden noktanın hız modülündeki değişimi belirler.

Temel kuvvet işi

Bir kuvvetin temel işi, kuvvetin noktanın hareket yönünde yönlendirilen yörüngeye teğet üzerine izdüşümü ile noktanın bu yöndeki sonsuz küçük yer değiştirmesinin çarpımına eşit bir skaler miktar olarak tanımlanır. teğet.

Son yer değiştirmede kuvvetin yaptığı iş

Bir kuvvetin son yer değiştirmede yaptığı iş, temel kesitlerde yaptığı işin toplamına eşittir.

Bir kuvvetin son yer değiştirme M 1 M 0 üzerindeki işi, bu yer değiştirme boyunca temel işin integraline eşittir.

Bir kuvvetin M 1 M 2 yer değiştirmesi üzerindeki çalışması, apsis ekseni, eğri ve M 1 ve M 0 noktalarına karşılık gelen koordinatlarla sınırlanan şeklin alanı ile gösterilmektedir.

SI sisteminde kuvvet işi ve kinetik enerjinin ölçüm birimi 1 (J)'dir.

Kuvvet işi ile ilgili teoremler

Teorem 1. Bileşik kuvvetin belirli bir yer değiştirme üzerinde yaptığı iş, bileşen kuvvetlerinin aynı yer değiştirme üzerinde yaptığı işin cebirsel toplamına eşittir.

Teorem 2. Sabit bir kuvvetin ortaya çıkan yer değiştirme üzerinde yaptığı iş, bu kuvvetin bileşenlerin yer değiştirmeleri üzerinde yaptığı işin cebirsel toplamına eşittir.

Güç

Güç, bir kuvvetin birim zamanda yaptığı işi belirleyen bir miktardır.

Güç ölçüm birimi 1W = 1 J/s'dir.

Kuvvetlerin çalışmasını belirleme durumları

İç kuvvetlerin çalışması

Katı bir cismin herhangi bir hareketi sırasında iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfırdır.

Yer çekimi işi

Elastik kuvvetin işi

Sürtünme kuvveti işi

Dönen bir cisme uygulanan kuvvetlerin işi

Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan kuvvetlerin temel işi, dış kuvvetlerin dönme eksenine göre ana momenti ile dönme açısındaki artışın çarpımına eşittir.

Yuvarlanma direnci

Sabit silindirin ve düzlemin temas bölgesinde, temas sıkıştırmasının yerel deformasyonu meydana gelir, gerilim eliptik bir yasaya göre dağıtılır ve bu gerilimlerin bileşkesi N'nin etki çizgisi, yükün etki çizgisiyle çakışır. Q silindiri üzerindeki kuvvet. Silindir yuvarlandığında, yük dağılımı maksimum harekete doğru kaydırılarak asimetrik hale gelir. Ortaya çıkan N, yuvarlanma sürtünme katsayısı olarak da adlandırılan ve uzunluk (cm) boyutuna sahip olan, yuvarlanma sürtünme kuvvetinin kolu olan k miktarı kadar yer değiştirir.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem

Belirli bir yer değiştirmede maddi bir noktanın kinetik enerjisindeki değişim, aynı yer değiştirmede o noktaya etki eden tüm kuvvetlerin cebirsel toplamına eşittir.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem

Belirli bir yer değiştirmede mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişim, aynı yer değiştirmede sistemin maddi noktalarına etki eden iç ve dış kuvvetlerin cebirsel toplamına eşittir.

Katı bir cismin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem

Belirli bir yer değiştirmede katı bir cismin (değişmeyen sistem) kinetik enerjisindeki değişim, sistemin aynı yer değiştirmedeki noktalarına etki eden dış kuvvetlerin toplamına eşittir.

Yeterlik

Mekanizmalara etki eden kuvvetler

Bir mekanizmaya veya makineye uygulanan kuvvetler ve kuvvet çiftleri (momentler) gruplara ayrılabilir:

1. Pozitif iş yapan itici kuvvetler ve momentler (sürücü bağlantılara uygulanır, örneğin içten yanmalı bir motorda piston üzerindeki gaz basıncı).

2. Negatif iş yapan kuvvetler ve direnç momentleri:

• faydalı direnç (makineden gereken işi yaparlar ve tahrik edilen bağlantılara uygulanırlar, örneğin makine tarafından kaldırılan yükün direnci),
• direnç kuvvetleri (örneğin sürtünme kuvvetleri, hava direnci vb.).

3. Yayların yer çekimi kuvvetleri ve elastik kuvvetleri (hem pozitif hem de negatif iş, tam çevrim için yapılan iş ise sıfırdır).

4. Cismin veya standın dışarıdan uyguladığı, iş yapmayan kuvvet ve momentler (temel reaksiyonu vb.).

5. Kinematik çiftler halinde hareket eden bağlantılar arasındaki etkileşim kuvvetleri.

6. Baklaların kütlesinden ve ivmeli hareketinden kaynaklanan baklaların atalet kuvvetleri pozitif, negatif iş yapabilir ve iş yapmayabilir.

Mekanizmalarda kuvvetlerin çalışması

Makine kararlı durumda çalıştığında kinetik enerjisi değişmez ve kendisine uygulanan itici güçlerle direnç kuvvetlerinin işinin toplamı sıfırdır.

Makineyi harekete geçirmek için harcanan iş, yararlı ve zararlı dirençlerin üstesinden gelmek için harcanır.

Mekanizmaların etkinliği

Sabit hareket sırasındaki mekanik verim, makinenin faydalı işinin, makineyi harekete geçirmek için harcanan işe oranına eşittir:

Makine elemanları seri, paralel ve karışık olarak bağlanabilir.

Seri bağlantıda verimlilik

Mekanizmalar seri olarak bağlandığında genel verimlilik, tek bir mekanizmanın en düşük verimliliğinden daha azdır.

Paralel bağlantıda verimlilik

Mekanizmalar paralel olarak bağlandığında, genel verimlilik, tek bir mekanizmanın en düşük verimliliğinden daha fazla ve en yüksek verimliliğinden daha azdır.

Biçim: pdf

Dil: Rusça, Ukraynaca

Düz dişli hesaplama örneği
Bir alın dişlisinin hesaplanmasına bir örnek. Malzeme seçimi, izin verilen gerilmelerin hesaplanması, temas ve bükülme mukavemetinin hesaplanması yapılmıştır.

Kiriş bükme probleminin çözümüne bir örnek
Örnekte enine kuvvetlerin ve eğilme momentlerinin diyagramları oluşturulmuş, tehlikeli bir bölüm bulunmuş ve bir I-kiriş seçilmiştir. Problem, diferansiyel bağımlılıkları kullanarak diyagramların yapısını analiz etti ve kirişin çeşitli kesitlerinin karşılaştırmalı bir analizini gerçekleştirdi.

Şaft burulma probleminin çözümüne bir örnek
Görev, çelik bir şaftın gücünü belirli bir çap, malzeme ve izin verilen gerilim altında test etmektir. Çözüm sırasında torkların, kayma gerilmelerinin ve burulma açılarının diyagramları oluşturulur. Şaftın kendi ağırlığı dikkate alınmaz

Bir çubuğun çekme-basınç problemini çözme örneği
Görev, bir çelik çubuğun mukavemetini belirtilen izin verilen gerilimlerde test etmektir. Çözüm sırasında boyuna kuvvetlerin, normal gerilmelerin ve yer değiştirmelerin diyagramları oluşturulur. Çubuğun kendi ağırlığı dikkate alınmaz

Kinetik enerjinin korunumu teoreminin uygulanması
Mekanik bir sistemin kinetik enerjisinin korunumuna ilişkin teoremi kullanarak bir problem çözme örneği

Bir tanımla başlayalım. İş A kuvvet F hareket ederken X uygulandığı cismin büyüklüğü vektörlerin skaler çarpımı olarak tanımlanır F Ve X .

bir=Fx= Fxcosα.(2.9.1)

Nerede α – kuvvet ve yer değiştirme yönleri arasındaki açı.

Şimdi düzgün ivmeli hareket için elde edilen (1.6a) ifadesine ihtiyacımız olacak. Ancak kinetik enerji teoremi adı verilen evrensel bir sonuç çıkaracağız. O halde eşitliği (1.6 a) yeniden yazalım.

bir x=(V 2 –V 0 2)/2.

Denklemin her iki tarafını parçacığın kütlesiyle çarpalım, şunu elde ederiz:

Döviz=m(V 2 –V 0 2)/2.

Nihayet

bir= m V 2 /2 – M V 0 2 /2. (2.9.1)

Boyut e=M V 2/2 parçacığın kinetik enerjisi olarak adlandırılır.

Geometri teoremlerinin kendi sözlü formülasyonlarına sahip olduğu gerçeğine alışkınsınız. Bu geleneğe ayak uydurmak için kinetik enerji teoremini metin biçiminde sunalım.

Bir cismin kinetik enerjisindeki değişim, ona etki eden tüm kuvvetlerin yaptığı işe eşittir.

Bu teorem evrenseldir, yani her türlü hareket için geçerlidir. Bununla birlikte, kesin kanıtı integral hesabının kullanılmasını içerir. Bu nedenle bunu atlıyoruz.

Bir cismin yerçekimi alanındaki hareketine bir örnek verelim. Yerçekimi işi, başlangıç ​​ve bitiş noktalarını birbirine bağlayan yörüngenin türüne bağlı değildir, yalnızca başlangıç ​​ve bitiş konumlarındaki yükseklik farkına göre belirlenir:

A=mg( H 1 –H 2). (2.9.2)

Yerçekimi alanında bir noktayı başlangıç ​​noktası olarak alalım ve bir parçacığı başka bir keyfi noktadan bu noktaya hareket ettirirken yerçekimi kuvvetinin yaptığı işi düşünelim. R, yükseklikte bulunan H. Bu iş eşittir mgh ve potansiyel enerji denir e bir noktada n parçacık R:

e n = mgh(2.9.3)

Şimdi eşitliği (2.9.1) dönüştürüyoruz, kinetik enerjiyle ilgili mekanik teorem şu şekli alıyor:

bir= m V 2 /2 – M V 0 2 /2= e p1 – e p2. (2.9.4)

M V2 /2+ e n2 = M V 0 2 /2+ e s1.

Bu eşitlikte, sol tarafta yörüngenin son noktasında ve sağ tarafta başlangıç ​​noktasında kinetik ve potansiyel enerjinin toplamı bulunur.

Bu miktara toplam mekanik enerji denir. onu belirteceğiz e.

e=e k + e P.

Toplam enerjinin korunumu yasasına ulaştık: Kapalı bir sistemde toplam enerji korunur.

Ancak şunu belirtmek gerekir. Sözde bir örneğe bakarken muhafazakar güçler. Bu kuvvetler yalnızca uzaydaki konuma bağlıdır. Ve bir cismi bir konumdan diğerine hareket ettirirken bu tür kuvvetlerin yaptığı iş, yalnızca bu iki konuma bağlıdır ve yola bağlı değildir. Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş mekanik olarak tersinirdir, yani cisim orijinal konumuna döndüğünde işareti değişir. Yerçekimi korunumlu bir kuvvettir. Gelecekte, örneğin elektrostatik etkileşim kuvveti gibi diğer koruyucu kuvvet türleriyle tanışacağız.

Ama doğada da var korunumlu olmayan kuvvetler. Örneğin kayma sürtünme kuvveti. Bir parçacığın yolu ne kadar uzun olursa, bu parçacığa etki eden kayma sürtünme kuvveti tarafından o kadar fazla iş yapılır. Ek olarak, kayma sürtünme kuvvetinin işi her zaman negatiftir, yani böyle bir kuvvet enerjiyi "geri döndüremez".

Kapalı sistemlerde toplam enerji elbette korunur. Ancak mekanikteki çoğu problem için enerjinin korunumu yasasının özel bir durumu, yani toplam mekanik enerjinin korunumu yasası daha önemlidir. İşte onun ifadesi.

Bir cisme yalnızca korunumlu kuvvetler etki ediyorsa, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamı olarak tanımlanan toplam mekanik enerjisi korunur..

Bundan sonra iki önemli eşitliğe daha ihtiyacımız olacak. Her zaman olduğu gibi, sonucun yerine yerçekimi alanının özel bir durumunun basit bir gösterimini koyacağız. Ancak bu eşitliklerin formu herhangi bir muhafazakar kuvvet için geçerli olacaktır.

Eşitliği (2.9.4) forma indirgeyelim

A=F∆x=E p1 – e n2 = –( e p.kon – e n.beg)= – ∆U.

İşte çalışmalara baktık A bir cismi ∆ kadar hareket ettirirken X. Son ve başlangıç ​​potansiyel enerjileri arasındaki farka eşit olan ∆U değerine potansiyel enerjideki değişim denir. Ve ortaya çıkan eşitlik ayrı bir satırı ve özel bir sayıyı hak ediyor. Bunu ona vermekte acele edelim:

bir=– ∆U (2.9.5)

Buradan kuvvet ile potansiyel enerji arasındaki matematiksel ilişki çıkar:

F= – ∆U/∆ X(2.9.6)

Genel durumda, yerçekimi alanıyla ilgili olmayan eşitlik (2.9.6), en basit diferansiyel denklemdir.

F= – dU/dx.

Kanıt olmadan son örneği ele alalım. Yerçekimi kuvveti evrensel çekim yasasıyla tanımlanır F(r)=GmM/r2 ve muhafazakardır. Yerçekimi alanının potansiyel enerjisinin ifadesi şu şekildedir:

U(r)= –GmM/r.

Yazar: – Basit bir duruma bakalım. Yatay bir düzlem üzerinde yer alan m kütleli bir cisme belirli bir süre boyunca etki edilmektedir. T yatay kuvvet F. Sürtünme yok. Zorunlu olarak yapılan iş nedir? F?

Öğrenci: – Sırasında T vücut S= kadar mesafe hareket edecek AT 2/2, burada A=F/M. Bu nedenle gerekli iş A=F S= F 2 T 2/(2m).

Yazar: Kuvvetin ona etki etmeye başlamasından önce bedenin hareketsiz olduğunu varsayarsak her şey doğrudur. Görevi biraz karmaşıklaştıralım. Kuvvetin başlangıcından önce cismin, dış kuvvetle birlikte yönlendirilen belirli bir V 0 hızıyla doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket etmesine izin verin. Şimdi zamanında yapılan iş nedir? T?

Öğrenci: – Yer değiştirmeyi hesaplamak için daha genel bir formül alacağım: S= V 0 T+AT 2/2, iş için alıyorum A=F(V0 T+AT 2/2). Önceki sonuçla karşılaştırıldığında aynı kuvvetin aynı zaman dilimlerinde farklı iş ürettiğini görüyorum.

Kütlesi m olan bir cisim, eğim açısı α olan eğimli bir düzlemde aşağı doğru kaymaktadır. Bir cismin düzlem üzerindeki kayma sürtünme katsayısı k. Cismin üzerine her zaman yatay bir kuvvet etki eder. F. Cismi S kadar hareket ettirirken bu kuvvetin yaptığı iş nedir?

Öğrenci: – Kuvvetleri sıralayalım ve sonuçlarını bulalım. Cisim, F dış kuvvetinin yanı sıra yerçekimi kuvvetleri, destek reaksiyonu ve sürtünme tarafından da etkilenmektedir.

Öğrenci: – A = işinin olduğu ortaya çıktı F S çünküα ve bu kadar. Her seferinde tüm kuvvetleri arama alışkanlığı beni gerçekten hayal kırıklığına uğrattı, özellikle de problem kütleyi ve sürtünme katsayısını gösterdiğinden.

Öğrenci: – Kuvvet işi F Zaten hesapladım: A 1 = F S çünküα. Yer çekiminin yaptığı iş A 2 =mgS'dir. günahα. Sürtünme kuvvetinin işi ... negatiftir, çünkü kuvvet ve yer değiştirme vektörleri zıt yönlüdür: A 3 = – kmgS çünküα. Tepki kuvveti çalışması N Sıfıra eşittir çünkü kuvvet ve yer değiştirme birbirine diktir. Negatif çalışmanın anlamını gerçekten anlamadığım doğru mu?

Yazar: – Bu, belirli bir kuvvetin çalışmasının vücudun kinetik enerjisini azalttığı anlamına gelir. Bu arada. Şekil 2.9.1'de gösterilen cismin hareketini enerjinin korunumu yasası açısından tartışalım. Öncelikle tüm kuvvetlerin yaptığı toplam işi bulun.

Öğrenci: - A= A 1 + A 2 + A 3 = FS çünküα+ mgS günahα– kmgS çünküα.

Kinetik enerji teoremine göre, son ve başlangıç ​​durumlarındaki kinetik enerjiler arasındaki fark, cisim üzerinde yapılan işe eşittir:

eİle - e n = A.

Öğrenci: – Belki bunlar bu problemle ilgili olmayan başka denklemlerdi?

Yazar: – Ancak tüm denklemler aynı sonucu vermelidir. Buradaki önemli nokta, potansiyel enerjinin toplam iş ifadesinde gizli olarak yer almasıdır. Aslında A 2 = mgS'yi hatırlayın günahα=mgh, burada h vücudun iniş yüksekliğidir. Şimdi kinetik enerji teoreminden enerjinin korunumu yasası için bir ifade elde edin.

Öğrenci: – U n ve U k sırasıyla vücudun başlangıç ​​ve son potansiyel enerjileri olmak üzere mgh=U n – U k olduğundan, elimizde:

M V n 2 /2 + sen n + A 1 + A 3 = m V 2 /2+'ye kadar senİle.

Öğrenci: – Bana göre bu kolaydır. Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş, ısı miktarına tam olarak eşit büyüklüktedir. Q. Bu yüzden Q= kmgS çünküα.

Öğrenci: M V n 2 /2 + sen n + A 1 – Q= m V 2 /2+'ye kadar senİle.

Yazar: – Şimdi işin tanımını biraz genelleştirelim. Gerçek şu ki (2.9.1) bağıntısı yalnızca sabit kuvvet durumunda doğrudur. Her ne kadar kuvvetin kendisinin parçacığın hareketine bağlı olduğu birçok durum olsa da. Örnek vermek.

Öğrenci: – Akla gelen ilk şey bahar esnemesidir. Yayın serbest ucu hareket ettikçe kuvvet artar. İkinci örnek, bildiğimiz gibi denge konumundan büyük sapmalarla tutulması daha zor olan bir sarkaçla ilgilidir.

Yazar: – İyi. Bahar örneğine bakalım. İdeal bir yayın elastik kuvveti, yay belirli bir miktarda sıkıştırıldığında (veya gerildiğinde) Hooke yasasıyla tanımlanır. X yer değiştirmeye zıt yönde doğrusal olarak bağlı bir kuvvet ortaya çıkar X. Hooke yasasını eşitlik olarak yazalım:

F= – k X (2.9.2)

Burada k yay sertliği katsayısıdır, X– yay deformasyonunun miktarı. İlişkinin grafiğini çizin F(X).

Öğrenci: Çizimim resimde gösterilmektedir.

Şekil 2.9.2

Grafiğin sol yarısı yayın sıkışmasına, sağ yarısı ise gerilmeye karşılık gelir.

Yazar: – Şimdi F kuvvetinin yerden hareket ederken yaptığı işi hesaplayalım. X=0 ila X= S. Bunun genel bir kuralı vardır. Kuvvetin yer değiştirmeye genel bağımlılığını biliyorsak, o zaman x 1'den x 2'ye kadar olan bölüm üzerindeki iş, bu bölüm üzerindeki F (x) eğrisinin altındaki alandır.

Öğrenci: – Bu, bir cismi yerden hareket ettirirken elastik kuvvetin yaptığı işin anlamına gelir. X=0 ila X=S negatiftir ve modülü dik üçgenin alanına eşittir: A= kS2/2.

A= k X 2 /2. (2.9.3)

Bu iş deforme olmuş yayın potansiyel enerjisine dönüştürülür.

Hikaye.

Rutherford dinleyicilere radyumun bozunmasını gösterdi. Ekran dönüşümlü olarak parlıyor ve kararıyordu.

– Şimdi görüyorsun – dedi Rutherford, – hiçbir şeyin görünmediğini. Ve neden hiçbir şeyin görünmediğini şimdi göreceksiniz.

Bir tanımla başlayalım. İş A kuvvet F hareket ederken X uygulandığı cismin büyüklüğü vektörlerin skaler çarpımı olarak tanımlanır F Ve X .

bir= F x= Fxcosα. (2.9.1)

Nerede α – kuvvet ve yer değiştirme yönleri arasındaki açı.

Şimdi düzgün ivmeli hareket için elde edilen (1.6a) ifadesine ihtiyacımız olacak. Ancak kinetik enerji teoremi adı verilen evrensel bir sonuç çıkaracağız. O halde eşitliği (1.6 a) yeniden yazalım.

A· X=(V 2 –V 0 2)/2.

Denklemin her iki tarafını parçacığın kütlesiyle çarpalım, şunu elde ederiz:

Döviz=m(V 2 –V 0 2)/2.

Nihayet

bir= M V 2 /2 – M V 0 2 /2. (2.9.1)

Boyut e= M V 2/2 parçacığın kinetik enerjisi olarak adlandırılır.

Geometri teoremlerinin kendi sözlü formülasyonlarına sahip olduğu gerçeğine alışkınsınız. Bu geleneğe ayak uydurmak için kinetik enerji teoremini metin biçiminde sunalım.

Bir cismin kinetik enerjisindeki değişim, ona etki eden tüm kuvvetlerin yaptığı işe eşittir.

Bu teorem evrenseldir, yani her türlü hareket için geçerlidir. Bununla birlikte, kesin kanıtı integral hesabının kullanılmasını içerir. Bu nedenle bunu atlıyoruz.

Bir cismin yerçekimi alanındaki hareketine bir örnek verelim. Yerçekimi işi, başlangıç ​​ve bitiş noktalarını birbirine bağlayan yörüngenin türüne bağlı değildir, yalnızca başlangıç ​​ve bitiş konumlarındaki yükseklik farkına göre belirlenir:

A=mg( H 1 –H 2). (2.9.2)

Yerçekimi alanında bir noktayı başlangıç ​​noktası olarak alalım ve bir parçacığı başka bir keyfi noktadan bu noktaya hareket ettirirken yerçekimi kuvvetinin yaptığı işi düşünelim. R, yükseklikte bulunan H. Bu iş eşittir mgh ve potansiyel enerji denir e bir noktada n parçacık R:

e n = mgh (2.9.3)

Şimdi eşitliği (2.9.1) dönüştürüyoruz, kinetik enerjiyle ilgili mekanik teorem şu şekli alıyor:

bir= M V 2 /2 – M V 0 2 /2= e p1 – e p2. (2.9.4)

M V2 /2+ e n2 = M V 0 2 /2+ e s1.

Bu eşitlikte, sol tarafta yörüngenin son noktasında ve sağ tarafta başlangıç ​​noktasında kinetik ve potansiyel enerjinin toplamı bulunur.

Bu miktara toplam mekanik enerji denir. onu belirteceğiz e.

e=e k + e P.

Toplam enerjinin korunumu yasasına ulaştık: Kapalı bir sistemde toplam enerji korunur.

Ancak şunu belirtmek gerekir. Sözde bir örneğe bakarken muhafazakar güçler. Bu kuvvetler yalnızca uzaydaki konuma bağlıdır. Ve bir cismi bir konumdan diğerine hareket ettirirken bu tür kuvvetlerin yaptığı iş, yalnızca bu iki konuma bağlıdır ve yola bağlı değildir. Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş mekanik olarak tersinirdir, yani cisim orijinal konumuna döndüğünde işareti değişir. Yerçekimi korunumlu bir kuvvettir. Gelecekte, örneğin elektrostatik etkileşim kuvveti gibi diğer koruyucu kuvvet türleriyle tanışacağız.

Ama doğada da var korunumlu olmayan kuvvetler. Örneğin kayma sürtünme kuvveti. Bir parçacığın yolu ne kadar uzun olursa, bu parçacığa etki eden kayma sürtünme kuvveti tarafından o kadar fazla iş yapılır. Ek olarak, kayma sürtünme kuvvetinin işi her zaman negatiftir, yani böyle bir kuvvet enerjiyi "geri döndüremez".

Kapalı sistemlerde toplam enerji elbette korunur. Ancak mekanikteki çoğu problem için enerjinin korunumu yasasının özel bir durumu, yani toplam mekanik enerjinin korunumu yasası daha önemlidir. İşte onun ifadesi.

Bir cisme yalnızca korunumlu kuvvetler etki ediyorsa, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamı olarak tanımlanan toplam mekanik enerjisi korunur..

Bundan sonra iki önemli eşitliğe daha ihtiyacımız olacak. Her zaman olduğu gibi, sonucun yerine yerçekimi alanının özel bir durumunun basit bir gösterimini koyacağız. Ancak bu eşitliklerin formu herhangi bir muhafazakar kuvvet için geçerli olacaktır.

Eşitliği (2.9.4) forma indirgeyelim

bir=F∆X= e p1 – e n2 = –( e p.kon – e n.beg)= – ∆U.

İşte çalışmalara baktık A bir cismi ∆ mesafeye hareket ettirirken X. Son ve başlangıç ​​potansiyel enerjileri arasındaki farka eşit olan ∆U değerine potansiyel enerjideki değişim denir. Ve ortaya çıkan eşitlik ayrı bir satırı ve özel bir sayıyı hak ediyor. Bunu ona vermekte acele edelim:

bir=– ∆U (2.9.5)

Buradan kuvvet ile potansiyel enerji arasındaki matematiksel ilişki çıkar:

F= – ∆U/∆ X (2.9.6)

Genel durumda, yerçekimi alanıyla ilgili olmayan eşitlik (2.9.6), en basit diferansiyel denklemdir.

F= – dÜ/ dx.

Kanıt olmadan son örneği ele alalım. Yerçekimi kuvveti evrensel çekim yasasıyla tanımlanır F(R)= GmM/ R 2 ve muhafazakardır. Yerçekimi alanının potansiyel enerjisinin ifadesi şu şekildedir:

sen(R)= – GmM/ R.

Yazar: – Basit bir duruma bakalım. Yatay bir düzlem üzerinde yer alan m kütleli bir cisme belirli bir süre boyunca etki edilmektedir. T yatay kuvvet F. Sürtünme yok. Zorunlu olarak yapılan iş nedir? F?

Öğrenci: – Sırasında T vücut S= kadar mesafe hareket edecek AT 2/2, burada A=F/M. Bu nedenle gerekli iş A=F S= F 2 T 2/(2m).

Yazar: Kuvvetin ona etki etmeye başlamasından önce bedenin hareketsiz olduğunu varsayarsak her şey doğrudur. Görevi biraz karmaşıklaştıralım. Kuvvetin başlangıcından önce cismin, dış kuvvetle birlikte yönlendirilen belirli bir V 0 hızıyla doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket etmesine izin verin. Şimdi zamanında yapılan iş nedir? T?

Öğrenci: – Yer değiştirmeyi hesaplamak için daha genel bir formül alacağım: S= V 0 T+AT 2/2, iş için alıyorum A=F(V0 T+AT 2/2). Önceki sonuçla karşılaştırıldığında aynı kuvvetin aynı zaman dilimlerinde farklı iş ürettiğini görüyorum.

Kütlesi m olan bir cisim, eğim açısı α olan eğimli bir düzlemde aşağı doğru kaymaktadır. Bir cismin düzlem üzerindeki kayma sürtünme katsayısı k. Cismin üzerine her zaman yatay bir kuvvet etki eder. F. Cismi S kadar hareket ettirirken bu kuvvetin yaptığı iş nedir?

Öğrenci: – Kuvvetleri sıralayalım ve sonuçlarını bulalım. Cisim, F dış kuvvetinin yanı sıra yerçekimi kuvvetleri, destek reaksiyonu ve sürtünme tarafından da etkilenmektedir.

Öğrenci: – A = işinin olduğu ortaya çıktı F S çünküα ve bu kadar. Her seferinde tüm kuvvetleri arama alışkanlığı beni gerçekten hayal kırıklığına uğrattı, özellikle de problem kütleyi ve sürtünme katsayısını gösterdiğinden.

Öğrenci: – Kuvvet işi F Zaten hesapladım: A 1 = F S çünküα. Yer çekiminin yaptığı iş A 2 =mgS'dir. günahα. Sürtünme kuvvetinin işi ... negatiftir, çünkü kuvvet ve yer değiştirme vektörleri zıt yönlüdür: A 3 = – kmgS çünküα. Tepki kuvveti çalışması N Sıfıra eşittir çünkü kuvvet ve yer değiştirme birbirine diktir. Negatif çalışmanın anlamını gerçekten anlamadığım doğru mu?

Yazar: – Bu, belirli bir kuvvetin çalışmasının vücudun kinetik enerjisini azalttığı anlamına gelir. Bu arada. Şekil 2.9.1'de gösterilen cismin hareketini enerjinin korunumu yasası açısından tartışalım. Öncelikle tüm kuvvetlerin yaptığı toplam işi bulun.

Öğrenci: - A= A 1 + A 2 + A 3 = FS çünküα+ mgS günahα– kmgS çünküα.

Kinetik enerji teoremine göre, son ve başlangıç ​​durumlarındaki kinetik enerjiler arasındaki fark, cisim üzerinde yapılan işe eşittir:

eİle - e n = A.

Öğrenci: – Belki bunlar bu problemle ilgili olmayan başka denklemlerdi?

Yazar: – Ancak tüm denklemler aynı sonucu vermelidir. Buradaki önemli nokta, potansiyel enerjinin toplam iş ifadesinde gizli olarak yer almasıdır. Aslında A 2 = mgS'yi hatırlayın günahα=mgh, burada h vücudun iniş yüksekliğidir. Şimdi kinetik enerji teoreminden enerjinin korunumu yasası için bir ifade elde edin.

Öğrenci: – U n ve U k sırasıyla vücudun başlangıç ​​ve son potansiyel enerjileri olmak üzere mgh=U n – U k olduğundan, elimizde:

M V n 2 /2 + sen n + A 1 + A 3 = m V 2 /2+'ye kadar senİle.

Öğrenci: – Bana göre bu kolaydır. Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş, ısı miktarına tam olarak eşit büyüklüktedir. Q. Bu yüzden Q= kmgS çünküα.

Öğrenci: M V n 2 /2 + sen n + A 1 – Q= m V 2 /2+'ye kadar senİle.

Yazar: – Şimdi işin tanımını biraz genelleştirelim. Gerçek şu ki (2.9.1) bağıntısı yalnızca sabit kuvvet durumunda doğrudur. Her ne kadar kuvvetin kendisinin parçacığın hareketine bağlı olduğu birçok durum olsa da. Örnek vermek.

Öğrenci: – Akla gelen ilk şey bahar esnemesidir. Yayın serbest ucu hareket ettikçe kuvvet artar. İkinci örnek, bildiğimiz gibi denge konumundan büyük sapmalarla tutulması daha zor olan bir sarkaçla ilgilidir.

Yazar: – İyi. Bahar örneğine bakalım. İdeal bir yayın elastik kuvveti, yay belirli bir miktarda sıkıştırıldığında (veya gerildiğinde) Hooke yasasıyla tanımlanır. X yer değiştirmeye zıt yönde doğrusal olarak bağlı bir kuvvet ortaya çıkar X. Hooke yasasını eşitlik olarak yazalım:

F= – k X (2.9.2)

Burada k yay sertliği katsayısıdır, X– yay deformasyonunun miktarı. İlişkinin grafiğini çizin F(X).

Öğrenci: Çizimim resimde gösterilmektedir.

Şekil 2.9.2

Grafiğin sol yarısı yayın sıkışmasına, sağ yarısı ise gerilmeye karşılık gelir.

Yazar: – Şimdi F kuvvetinin yerden hareket ederken yaptığı işi hesaplayalım. X=0 ila X= S. Bunun genel bir kuralı vardır. Eğer kuvvetin yer değiştirmeye genel bağımlılığını biliyorsak, o zaman kesit üzerindeki iş x'e bağlıdır 1 x'e kadar 2 eğrinin altındaki alandırF(X) bu segmentte.

Öğrenci: – Bu, bir cismi yerden hareket ettirirken elastik kuvvetin yaptığı işin anlamına gelir. X=0 ila X=S negatiftir ve modülü dik üçgenin alanına eşittir: A= kS2/2.

A= k X 2 /2. (2.9.3)

Bu iş deforme olmuş yayın potansiyel enerjisine dönüştürülür.

Hikaye.

Rutherford dinleyicilere radyumun bozunmasını gösterdi. Ekran dönüşümlü olarak parlıyor ve kararıyordu.

- Şimdi görüyorsun – dedi Rutherford, – hiçbir şeyin görünmediğini. Ve neden hiçbir şeyin görünmediğini şimdi göreceksiniz.

Sorular ve görevler

1. Günlük yaşamda karşılaşılan ve muhafazakar olmayan kuvvetlerin dahil olduğu durumları listeleyin.

2. Kitabı yavaşça masadan yüksek bir rafa kaldırırsınız. Kitaba etki eden kuvvetleri listeleyin ve hangilerinin muhafazakar, hangilerinin olmadığını belirleyin.

3. Parçacığa etki eden sonuçta ortaya çıkan kuvvet korunumludur ve kinetik enerjisini 300 oranında arttırır. J. a) Parçacığın potansiyel enerjisindeki, b) toplam enerjisindeki değişim nedir?

4. Aşağıdaki ifade fiziksel olarak mantıklı mı: Yüksek atlamalarda esnek plastikten yapılmış direklerin kullanılması, daha fazla esnekliğin yerçekimi alanının potansiyel enerjisine dönüştürülen ek elastik enerji sağlaması nedeniyle sonuçlarda bir artışa yol açtı mı?

5. Bir ucu yüksekliğe yükseltilmiş eğik bir düzlem vardır. N. Vücut kütlesi M en üst noktadan aşağıya doğru (başlangıç ​​hızı olmadan) yuvarlanır. Bu cismin eğik düzlemin tabanındaki hızı a) sürtünme yoksa, b) sürtünme varsa ufukla yaptığı açıya bağlı mıdır?

6. Bir dağa önce tırmanıp sonra inerken neden hala yoruluruz? Sonuçta yerçekimi alanında yapılan toplam iş sıfırdır.

7. Bu örnek daha da zordur. Bir kol boyu mesafede bir dambıl tuttuğunuzu hayal edin. Merak etmeyin çok ağır değil. Ama yine de el yoruluyor. Ancak mekanik bir iş yoktur çünkü hareket yoktur. Kaslarınızın enerjisi nereye gidiyor?

8. Yay kütlesi M masanın üzerinde dikey konumda durur. Yayı sıkıştırıp yukarıdan bastırıp bıraktıktan sonra zıplayıp masadan inebilecek mi? Cevabınızı enerjinin korunumu yasasını kullanarak açıklayınız.

9. Su tabana ulaştığında şelalenin tepesindeki suyun potansiyel enerjisine ne olur? Kinetik ve toplam enerjiye ne olur?

10. Deneyimli turistler, üzerine basıp karşı taraftan atlamak yerine, düşmüş bir kütüğün üzerinden geçmeyi tercih ederler. Olayı açıklayın.

11. İki kişi birbirine göre V hızıyla hareket eden farklı platformlardadır. Pürüzlü bir yatay yüzey boyunca çekilen bir kütüğü gözlemliyorlar. Bu kişilerin elde ettiği değerler örtüşüyor mu: a) kütüğün kinetik enerjisi; b) vücut üzerinde yapılan toplam iş; c) Sürtünmenin varlığı nedeniyle mekanik enerji termal enerjiye dönüştü mü? c) sorusunun cevabı a) ve b) sorularının cevaplarıyla çelişmiyor mu?

12. Bir araba hareketsiz halden eşit şekilde hızlandığında kinetik enerjisi nereden gelir? Kinetik enerjideki artışı lastikler ile otoyol arasındaki sürtünmenin varlığıyla nasıl ilişkilendirebiliriz?

13. Kışın Dünya Güneş'e en kısa mesafeden yaklaşır. Dünyanın potansiyel enerjisi ne zaman en büyüktür?

14 Toplam mekanik enerji negatif olabilir mi? Örnekler ver.

15. Kuvvet hangi noktada en büyüktür? Numaralandırılmış her nokta için kuvvetin hangi yönde etki ettiğini belirtin. Hangi nokta denge konumuna karşılık gelir?

Görevler

16. Bir mermi sabit bir tahtaya en az 200 km hızla girer. Hanım. Uzun bir ipin üzerinde asılı duran bu tahtayı delmek için merminin hangi hızda gitmesi gerekir? Mermi ağırlığı 15 G, tahta ağırlığı 90 G mermi tahtanın tam ortasına, yüzeyine dik olarak çarpıyor.

17. Tahta kütle topu M =1 kilogram kordonun askı noktasından topun merkezine kadar olan mesafe eşit olacak şekilde bir ipe asılır L= 1 M. Yatay olarak hızla uçan bir uçağın topa çarpması V 1 =400 Hanım kurşun kütlesi M= 10 G topu tam çapı boyunca delip, belli bir hızla dışarı fırlayan V 2 =230 Hanım. Açıyı Tanımla  Süspansiyonun dikeyden maksimum sapması. Hava direncini ve bir merminin topa nüfuz etmesi için geçen süreyi ihmal edin.

18. Ufka α açısıyla eğimli bir düzlemde iki kütleli cisim M. Cisimler ve düzlem arasındaki sürtünme katsayısı k>tgα. Cesetlere aynı karşı hızlar veriliyor V. Hangi maksimum başlangıç ​​mesafesinde L cesetler arasında çarpışacaklar mı?

19. Araba düz raylar üzerinde yuvarlanarak dikey bir yarıçap döngüsü oluşturur. R. Hangi minimum yükseklikten itibaren H min araba rayları tüm uzunluğu boyunca bırakmayacak şekilde mi yuvarlanmalı? Araba belirli bir yükseklikten aşağı doğru yuvarlanırsa hareketi ne olur? H, daha küçük H dk?

20. Dambıl ekseninin yatayla  açısı yaptığı anda düşen dambıl nedeniyle dikey duvara etki eden kuvveti belirleyin. Dambıl, hareketine başlangıç ​​hızı olmaksızın dikey bir konumdan başlar. Her bir dambıl topunun kütlesi m'dir.

21. İplik uzunluğu 2'de H asılı ağırlık M. Mesafede H askı noktasının altına bir çivi çakılır. İplik denge konumundan /2 açısı kadar saptırıldı ve serbest bırakıldı. Denge pozisyonundan geçtikten sonra ağırlık hangi maksimum yüksekliğe yükselecektir?

22. Kitle standı M yarım küre girinti yarıçapı ile R düzgün bir yatay düzlem üzerinde durur. Küçük kütleli cisim MÇentiğin kenarına yerleştirin ve bırakın. Vücudun ve duruşun hızını, en alçak noktayı geçme anında vücuda etki eden kuvveti bulun.

23. Ağırlık kütlesi M sertleştirici bir yay üzerinde asılı k, yay deforme olmamış bir durumda olacak şekilde stand tarafından tutulur. Stand aniden kaldırılıyor. Yayın maksimum uzamasını ve yükün maksimum hızını bulun.

24. Sertleştirici bir yay üzerinde asılı duran bir yükten k, kütlenin bir kısmı çıkıyor M. Bundan sonra yükün geri kalan kısmı hangi yüksekliğe yükselecek?

25. Üst kütleye ne kadar kuvvet uygulanmalıdır? M böylece alt yük daha ağır olur M, üst takviye yayına bağlı k, kuvvet kesildikten sonra yerden mi kalktı?

26. Kütleli iki cisim yatay bir düzlemde yer alır M 1 ve M 2 deforme olmamış bir yay ile birbirine bağlanmıştır. Sağdaki cismin hareket etmesi için sol cisme uygulanması gereken en küçük sabit kuvvetin ne olduğunu bulun. Cisimler ve düzlem arasındaki sürtünme katsayısı 'dir.