Деформації та переміщення. Закон Гука

Закон Гука було відкрито XVII столітті англійцем Робертом Гуком. Це відкриття про розтягнення пружини є одним із законів теорії пружності та виконує важливу роль у науці та техніці.

Визначення та формула закону Гука

Формулювання цього закону виглядає наступним чином: сила пружності, яка з'являється в момент деформації тіла, пропорційна подовженню тіла та спрямована протилежно до руху частинок цього тіла щодо інших частинок при деформації.

Математичний запис закону виглядає так:

Мал. 1. Формула закону Гука

де Fпр- відповідно сила пружності, x- подовження тіла (відстань, на яку змінюється вихідна довжина тіла), а k- Коефіцієнт пропорційності, званий жорсткістю тіла. Сила вимірюється у Ньютонах, а подовження тіла – за метри.

Для розкриття фізичного сенсу жорсткості, потрібно у формулу для закону Гука підставити одиницю, у якій вимірюється подовження – 1 м, наперед отримавши вираз для k.

Мал. 2. Формула жорсткості тіла

Ця формула показує, що жорсткість тіла чисельно дорівнює силі пружності, що виникає в тілі (пружині), коли воно деформується на 1 м. Відомо, що жорсткість пружини залежить від її форми, розміру та матеріалу, з якого виготовлено це тіло.

Сила пружності

Тепер коли відомо, яка формула виражає закон Гука, необхідно розібратися в його основній величині. Основною величиною є сила пружності. Вона з'являється у певний момент, коли тіло починає деформуватися, наприклад, коли пружина стискається чи розтягується. Вона спрямована у зворотний бік від сили тяжіння. Коли сила пружності та сила тяжіння, що діють на тіло, стають рівними, опора та тіло зупиняються.

Деформація - це незворотні зміни, що відбуваються з розмірами тіла та його формою. Вони пов'язані з переміщенням частинок щодо один одного. Якщо людина сяде у м'яке крісло, то з кріслом відбудеться деформація, тобто зміняться його характеристики. Вона буває різних типів: вигин, розтяг, стиск, зсув, кручення.

Так як сила пружності відноситься за своїм походженням до електромагнітних сил, слід знати, що виникає вона через те, що молекули та атоми – найменші частинки, з яких складаються всі тіла, притягуються один одному та відштовхуються один від одного. Якщо відстань між частинками дуже мала, отже, ними впливає сила відштовхування. Якщо ж цю відстань збільшити, то на них діятиме сила тяжіння. Таким чином, різниця сил тяжіння та сил відштовхування проявляється в силах пружності.

Сила пружності включає силу реакції опори і вагу тіла. Сила реакції становить особливий інтерес. Це така сила, що діє на тіло, коли його кладуть на якусь поверхню. Якщо ж тіло підвішене, то силу, що діє на нього, називають силою натягу нитки.

Особливості сил пружності

Як ми вже з'ясували, сила пружності виникає при деформації, і спрямована вона на відновлення початкових форм і розмірів строго перпендикулярно до поверхні, що деформується. У сил пружності також є низка особливостей.

• вони з'являються під час деформації;
• вони з'являються у двох тіл, що деформуються одночасно;
• вони знаходяться перпендикулярно поверхні, стосовно якої тіло деформується.
• вони протилежні у напрямку усунення частинок тіла.

Застосування закону практично

Закон Гука застосовується як у технічних та високотехнологічних пристроях, так і в самій природі. Наприклад, сили пружності зустрічаються в годинникових механізмах, в амортизаторах на транспорті, в канатах, гумках і навіть людських кістках. Принцип закону Гука є основою динамометра – приладу, з допомогою якого вимірюють силу.

Міністерство освіти АР Крим

Таврійський Національний Університет ім. Вернадського

Дослідження фізичного закону

ЗАКОН ГУКУ

Виконав: студент 1 курсу

фізичного факультету гр. Ф-111

Потапов Євген

Сімферополь-2010

План:

Зв'язок між якими явищами чи величинами виражає закон.

Формулювання закону

Математичний вираз закону.

Як було відкрито закон: з урахуванням досвідчених даних чи теоретично.

Досвідчені факти на основі якого було сформульовано закон.

Досліди, що підтверджують справедливість закону, сформульованого з урахуванням теорії.

Приклади використання закону та обліку дії закону на практиці.

Література

Зв'язок між якими явищами чи величинами виражає закон:

Закон Гука пов'язує такі явища, як напруга та деформацію твердого тіла, модуль сили пружності та подовження. Модуль сили пружності, що виникає при деформації тіла, пропорційний до його подовження. Подовженням називається характеристика деформативності матеріалу, що оцінюється збільшення довжини зразка з цього матеріалу при розтягуванні. Сила пружності - сила, що виникає при деформації тіла і протидіє цій деформації. Напруга - це міра внутрішніх сил, що виникають у тілі, що деформується, під впливом зовнішніх впливів. Деформація - зміна взаємного становища частинок тіла, що з їх переміщенням друг щодо друга. Ці поняття пов'язані з так званим коефіцієнтом жорсткості. Він залежить від пружних властивостей матеріалу та розмірів тіла.

Формулювання закону:

Закон Гу́ка - рівняння теорії пружності, що зв'язує напругу та деформацію пружного середовища.

Формулювання закону - сила пружності прямо пропорційна деформації.

Математичний вираз закону:

Для тонкого розтягненого стрижня закон Гука має вигляд:

Тут Fсила натягу стрижня, Δ l- його подовження (стиснення), а kназивається коефіцієнтом пружності(або твердістю). Мінус у рівнянні вказує на те, що сила натягу завжди спрямована у бік, протилежний до деформації.

Якщо ввести відносне подовження

та нормальна напруга в поперечному перерізі

то закон Гука запишеться так

У такій формі він справедливий для будь-яких малих обсягів речовини.

У випадку напруги і деформації є тензорами другого рангу в тривимірному просторі (мають по 9 компонент). Тензор пружних постійних, що їх пов'язує, є тензором четвертого рангу. C ijklта містить 81 коефіцієнт. Внаслідок симетрії тензора C ijkl, а також тензорів напруг та деформацій, незалежними є лише 21 постійна. Закон Гука виглядає так:

де σ ij- тензор напруг, - тензор деформацій. Для ізотропного матеріалу тензор C ijklмістить лише два незалежні коефіцієнти.

Як було відкрито закон: з урахуванням досвідчених даних чи теоретично:

Закон було відкрито 1660 року англійським ученим Робертом Гуком (Хуком) з урахуванням спостережень та експериментів. Відкриття, як стверджував Гук у своєму творі De potentia restitutiva, опублікованому в 1678, зроблено ним за 18 років до цього часу, а в 1676 було поміщено в іншій його книзі під виглядом анаграми ceiiinosssttuv, що означає Ut tensio sic vis . За поясненням автора, вищесказаний закон пропорційності застосовується не тільки до металів, а й до дерева, каменів, рогу, кісток, скла, шовку, волосся та ін.

Досвідчені факти на основі яких було сформульовано закон:

Історія про це замовчує.

Досліди, що підтверджують справедливість закону, сформульованого на основі теорії:

Закон сформульовано з урахуванням досвідчених даних. Дійсно, при розтягуванні тіла (дроту) з певним коефіцієнтом жорсткості kна відстань Δ l,то їх добуток дорівнює по модулю силі, що розтягує тіло (дроту). Таке співвідношення виконуватиметься, однак, не для всіх деформацій, а для невеликих. За великих деформацій закон Гука перестає діяти, тіло руйнується.

Приклади використання закону та обліку дії закону на практиці:

Як випливає із закону Гука, з подовження пружини можна судити про силу, що діє на неї. Цей факт використовується для вимірювання сил за допомогою динамометра – пружини з лінійною шкалою, проградуйованою на різні значення сил.

Література

1. Інтернет-ресурси: - сайт Вікіпедія (http://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 %D0%BA%D0%B0).

2. підручник з фізики Перишкін А.В. 9 клас

3. підручник із фізики В.А. Касьянов 10 клас

4. лекції з механіки Рябушкін Д.С.

При розтягуванні та стисканні стрижня змінюються його довжина та розміри поперечного перерізу. Якщо подумки виділити зі стрижня в недеформованому стані елемент завдовжки dx,то після деформації його довжина дорівнюватиме dx ((Рис. 3.6). При цьому абсолютне подовження у напрямку осі Охбуде одно

а відносна лінійна деформація е хвизначається рівністю

Оскільки вісь Охзбігається з віссю стрижня, вздовж якої діють зовнішні навантаження, назвемо деформацію е хпоздовжньою деформацією, у якої надалі індекс опускатимемо. Деформації у напрямках, перпендикулярних до осі, називаються поперечними деформаціями. Якщо позначити через bхарактерний розмір поперечного перерізу (рис. 3.6), то поперечна деформація визначається співвідношенням

Відносні лінійні деформації є безрозмірними величинами. Встановлено, що поперечні та поздовжні деформації при центральному розтягуванні та стисканні стрижня пов'язані між собою залежністю.

Вхідна в цю рівність величина v називається коефіцієнтом Пуассоначи коефіцієнтом поперечної деформації. Цей коефіцієнт є однією з основних постійних пружності матеріалу та характеризує його здатність до поперечних деформацій. Для кожного матеріалу він визначається з досвіду на розтяг або стиснення (див. § 3.5) і обчислюється за формулою

Як випливає з рівності (3.6), поздовжні та поперечні деформації мають протилежні знаки, що є підтвердженням очевидного факту - при розтягуванні розміри поперечного перерізу зменшуються, а при стисканні збільшуються.

Для різних матеріалів коефіцієнт Пуассона різний. Для ізотропних матеріалів може приймати значення не більше від 0 до 0,5. Наприклад, для пробкового дерева коефіцієнт Пуассон близький до нуля, а для гуми він близький до 0,5. Для багатьох металів за нормальних температур величина коефіцієнта Пуассона знаходиться в межах 0,25+0,35.

Як встановлено у численних експериментах, для більшості конструкційних матеріалів при малих деформаціях між напругами та деформаціями існує лінійний зв'язок

Цей закон пропорційності вперше було встановлено англійським вченим Робертом Гуком і називається законом Гука.

Гука, що входить до закону, постійна Еназивається модулем пружності. Модуль пружності є другою основною постійною пружністю матеріалу та характеризує його жорсткість. Оскільки деформації є безрозмірними величинами, (3.7) слід, що модуль пружності має розмірність напруги.

У табл. 3.1 наведено значення модуля пружності та коефіцієнта Пуассона для різних матеріалів.

При проектуванні та розрахунках конструкцій поряд з обчисленням напруги необхідно також визначати переміщення окремих точок і вузлів конструкцій. Розглянемо спосіб обчислення переміщень при центральному розтягуванні та стисканні стрижнів.

Абсолютне подовження елемента завдовжки dx(рис. 3.6) згідно з формулою (3.5) дорівнює

Таблиця 3.1

найменування матеріалу	Модуль пружності, МПа	Коефіцієнт Пуассона
Сталь вуглецева
Сплави алюмінію
Сплави титану
	(1,15-s-1,6) 10 5
вздовж волокон	(0,1 ^ 0,12) 10 5
поперек волокон	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
Кладка з цегли	(0,027 +0,03)-10 5
Склопластик СВАМ
Текстоліт	(0,07 + 0,13)-10 5
Гума на каучуку

Інтегруючи цей вираз у межах від 0 до х, отримаємо

де і (х) - осьове переміщення довільного перерізу (рис. 3.7), а З = і ( 0) - осьове переміщення початкового перерізу х = 0.Якщо цей переріз закріплено, то і (0) = 0 і переміщення довільного перерізу дорівнює

Подовження або укорочення стрижня дорівнює осьовому переміщенню його вільного торця (рис. 3.7), величину якого отримаємо з (3.8), прийнявши х = 1:

Підставивши у формулу (3.8) вираз для деформації? із закону Гука (3.7), отримаємо

Для стрижня з матеріалу з постійним модулем пружності Еосьові переміщення визначаються за формулою

Інтеграл, що входить у цю рівність, можна обчислити двома способами. Перший спосіб полягає в аналітичному запису функції а(х)та подальшому інтегруванні. Другий спосіб заснований на тому, що аналізований інтеграл чисельно дорівнює площі епюри на ділянці .Вводячи позначення

Розглянемо окремі випадки. Для стрижня, що розтягується зосередженою силою Р(Мал. 3.3, а),поздовжня сила./Vпостійна за довжиною і дорівнює Р.Напруги а згідно (3.4) також постійні та рівні

Тоді з (3.10) отримуємо

З цієї формули випливає, що якщо напруга на деякій ділянці стрижня постійна, то переміщення змінюються за лінійним законом. Підставляючи в останню формулу х = 1,знайдемо подовження стрижня:

твір EFназивається жорсткістю стрижня при розтягуванні та стисканні.Чим більша ця величина, тим менше подовження або скорочення стрижня.

Розглянемо стрижень, що під дією рівномірно розподіленого навантаження (рис. 3.8). Поздовжня сила в довільному перерізі, що знаходиться на відстані х від закріплення, дорівнює

Розділивши Nна F,отримаємо формулу для напруг

Підставляючи цей вираз у (3.10) та інтегруючи, знаходимо

Найбільше переміщення, що дорівнює подовженню всього стрижня, отримаємо, підставивши в (3.13)х = /:

З формул (3.12) і (3.13) видно, що якщо напруги лінійно залежать відх, то переміщення змінюються за законом квадратної параболи. Епюри N,про і іпоказано на рис. 3.8.

Загальна диференціальна залежність, яка зв'язує функції і(х)і а(х), може бути отримана із співвідношення (3.5). Підставляючи це співвідношення з закону Гука (3.7), знайдемо

З цієї залежності випливають, зокрема, зазначені у розглянутих вище прикладах закономірності зміни функції та(х).

Крім того, можна помітити, що якщо в якому-небудь перерізі напруги звертаються в нуль, то на епюрі іу цьому перерізі може бути екстремум.

Як приклад збудуємо епюру ідля стрижня, зображеного на рис. 3.2, поклавши Е- 10 4 МПа. Обчислюючи площі епюри продля різних ділянок, знаходимо:

перетин х = 1 м:

перетин х = 3 м:

перетин х = 5 м:

На верхній ділянці стрижня епюра іє квадратною параболою (рис. 3.2, е).При цьому в перерізі х = 1 м є екстремум. На нижній ділянці характер епюри є лінійним.

Загальне подовження стрижня, яке в даному випадку дорівнює

можна обчислити, скориставшись формулами (3.11) та (3.14). Оскільки нижня ділянка стрижня (див. рис. 3.2, а)розтягується силою Р (його подовження згідно (3.11) дорівнює

Дія сили Р (передається також і на верхню ділянку стрижня. Крім того, він стискається силою Р 2і розтягується рівномірно розподіленим навантаженням q.Відповідно до цього зміна його довжини обчислюється за формулою

Підсумовуючи значення А/, і А/ 2 отримаємо той же результат, що наведено вище.

На закінчення слід зазначити, що, незважаючи на малу величину переміщень та подовжень (укорочень) стрижнів при розтягуванні та стисканні, нехтувати ними не можна. Вміння обчислювати ці величини є важливим у багатьох технологічних завданнях (наприклад, при монтажі конструкцій), а також для вирішення статично невизначених завдань.

Як відомо, фізика вивчає всі закони природи: починаючи від найпростіших і до найбільш загальними принципами природознавства. Навіть у тих сферах, де, здавалося б, фізика не здатна розібратися, все одно вона відіграє першочергову роль, і кожен найменший закон, кожен принцип — ніщо не вислизає від неї.

Вконтакте

Саме фізика є основою основ, саме ця лежить на початку всіх наук.

Фізика вивчає взаємодію всіх тіл,як парадоксально маленьких, і неймовірно великих. Сучасна фізика активно вивчає непросто маленькі, а гіпотетичні тіла, і це проливає світло на суть світобудови.

Фізика поділена на розділи,це спрощує як саму науку і її розуміння, а й методологію вивчення. Механіка займається рухом тіл і взаємодією тіл, що рухаються, термодинаміка — тепловими процесами, електродинаміка — електричними.

Чому деформацію має вивчати механіка

Говорячи про стиски чи розтягування, слід поставити собі питання: який розділ фізики має вивчати цей процес? При сильних спотвореннях може виділятися тепло, можливо, цими процесами повинна займатися термодинаміка? Іноді при стисканні рідин вона починає кипіти, а при стисканні газів — утворюються рідини? Так що ж, деформацію має пізнавати гідродинаміка? Чи молекулярно-кінетична теорія?

Все залежить від сили деформації, її ступеня.Якщо середовище, що деформується (матеріал, який стискають або розтягують) дозволяє, а стиск невеликий, є сенс розглядати цей процес як рух одних точок тіла щодо інших.

А якщо питання стосується суто, значить, займатиметься цим буде механіка.

Закон Гука та умова його виконання

В 1660 відомий англійський вчений Роберт Гук відкрив явище, за допомогою якого можна механічно описати процес деформацій.

Щоб розуміти за яких умов виконується закон Гука, обмежимося двома параметрами:

• середовище;
• сила.

Існують такі середовища (наприклад, гази, рідини, особливо в'язкі рідини, близькі до твердих станів або, навпаки, дуже плинні рідини) для яких описати процес механічно ніяк не вийде. І навпаки, існують такі середовища, в яких за досить великих сил механіка перестає «спрацьовувати».

Важливо!На запитання: «За яких умов виконується закон Гука?», можна дати відповідь: «При малих деформаціях».

Закон Гука, визначення: деформація, що виникає у тілі, прямо пропорційна силі, що викликає цю деформацію

Звичайно, це визначення передбачає, що:

• стиснення або розтягування невеликі;
• предмет пружний;
• він складається з матеріалу, при якому в результаті стиснення чи розтягування немає нелінійних процесів.

Закон Гука у математичній формі

Формулювання Гука, яке ми навели вище, дає можливість записати його в наступному вигляді:

де - Зміна довжини тіла внаслідок стиснення або розтягування, F - сила, прикладена до тіла і викликає деформацію (сила пружності), k - Коефіцієнт пружності, вимірюється в Н/м.

Слід пам'ятати, що закон Гука справедливий лише для малих розтягувань.

Також зазначимо, що він при розтягуванні та стисканні має той самий вигляд. Враховуючи, що сила — величина векторна і має напрямок, то у разі стиснення більш точною буде така формула:

Але знову-таки, все залежить від того, куди буде спрямована вісь, щодо якої ви проводите вимір.

У чому кардинальна різниця між стиском та розтягуванням? Ні в чому, якщо воно незначне.

Ступінь застосування можна розглянути в такому вигляді:

Звернімо увагу на графік. Як бачимо, при невеликих розтягненнях (перша чверть координат) довгий час сила з координатою має лінійний зв'язок (червона пряма), але потім реальна залежність (пунктир) стає нелінійною, і закон перестає виконуватися. Насправді це відбивається таким сильним розтягуванням, що пружина перестає повертатися у вихідне становище, втрачає властивості. При ще більшому розтягуванні відбувається злам, і руйнується структураматеріалу.

При невеликих стисканнях (третя чверть координат) довгий час сила з координатою має лінійний зв'язок (червона пряма), але потім реальна залежність (пунктир) стає нелінійною, і все знову перестає виконуватися. На практиці це відбивається таким сильним стисненням, що починає виділятися теплота пружина втрачає властивості. При ще більшому стиску відбувається «злипання» витків пружини і вона починає деформуватися по вертикалі, а потім і зовсім плавитися.

Як бачимо формула, що виражає закон, дозволяє знаходити силу, знаючи зміну довжини тіла, або, знаючи силу пружності, виміряти зміну довжини:

Також в окремих випадках можна знаходити коефіцієнт пружності. Для того, щоб зрозуміти як це робиться, розглянемо приклад завдання:

До пружини приєднано динамометр. Її розтягнули, доклавши сили в 20 , через що вона стала мати довжину 1 метр. Потім її відпустили, зачекали, поки припиняться коливання, і вона повернулася до свого нормального стану. У нормальному стані її довжина становила 87,5 сантиметрів. Давайте спробуємо дізнатися, з якого матеріалу виготовлена ​​пружина.

Знайдемо чисельне значення деформації пружини:

Звідси можемо виразити значення коефіцієнта:

Поглянувши на таблицю, можемо виявити, що цей показник відповідає пружинній сталі.

Неприємності з коефіцієнтом пружності

Фізика, як відомо, наука дуже точна, більше, вона настільки точна, що створила цілі прикладні науки, що вимірюють похибки. Будучи зразком непохитної точності, вона не може собі дозволити бути нескладною.

Практика показує, що розглянута нами лінійна залежність є нічим іншим як законом Гука для тонкого та розтяжного стрижня.Лише як виняток можна застосовувати його для пружин, але навіть це є небажаним.

Виявляється, що коефіцієнт k - змінна величина, яка залежить не тільки від того з якого матеріалу тіло, а й від діаметра та його лінійних розмірів.

З цієї причини наші висновки вимагають уточнень і розвитку, адже інакше формулу:

не можна назвати нічим іншим як залежністю між трьома змінними.

Модуль Юнга

Спробуємо розібратися з коефіцієнтом пружності. Цей параметр, як ми з'ясували, залежить від трьох величин:

• матеріалу (що нас цілком влаштовує);
• довжини L (що вказує на його залежність від);
• площі S.

Важливо!Таким чином, якщо нам вдасться якимось чином «відокремити» з коефіцієнта довжину L та площу S, то ми отримаємо коефіцієнт, що повністю залежить від матеріалу.

Що нам відомо:

• що більша площа перерізу тіла, то більше вписувалося коефіцієнт k, причому залежність лінійна;
• чим більша довжина тіла, тим менший коефіцієнт k, причому залежність обернено пропорційна.

Отже, ми можемо коефіцієнт пружності записати таким чином:

причому Е - новий коефіцієнт, який тепер точно залежить виключно від типу матеріалу.

Введемо поняття "відносне подовження":

. 

Висновок

Сформулюємо закон Гука при розтягуванні та стисканні: при малих стисненнях нормальна напруга прямо пропорційна відносному подовженню.

Коефіцієнт Е називається модулем Юнга і залежить від матеріалу.