Tilaussuhde. Tilatut setit

Sanaa "tilaus" käytetään usein monenlaisissa asioissa. Upseeri antaa komennon: "Laske numerojärjestyksessä", laskutoimitukset suoritetaan tietyssä järjestyksessä, urheilijat luokitellaan pituuden mukaan, kaikki johtavat shakinpelaajat on järjestetty tiettyyn järjestykseen ns. Elo-kertoimien mukaan (amerikkalainen professori jotka kehittivät järjestelmäkertoimet, jolloin kaikki pelaajien onnistumiset ja epäonnistumiset voidaan ottaa huomioon), mestaruuden jälkeen kaikki jalkapallojoukkueet sijaitsevat tietyssä järjestyksessä jne. Osaa valmistettaessa on toimintajärjestys, järjestys sanoja lauseessa (yritä ymmärtää, mitä lause "on he old man" tarkoittaa, etten istuttanut aasia!)

Järjestämällä tietyn joukon elementit peräkkäin järjestämme ne siten tai luomme niiden välille jonkin suhteen järjestyksessä. Yksinkertaisin esimerkki on luonnollisten lukujen luonnollinen järjestys. Sen luonnollisuus piilee siinä, että mistä tahansa kahdesta luonnollisesta luvusta tiedämme kumpi seuraa toista tai kumpi on suurempi kuin toinen, joten voimme järjestää luonnolliset luvut jonoon siten, että suurempi luku sijaitsee esim. pienemmän oikealla: 1, 2, 3, ... . Elementtien sarja voidaan tietysti kirjoittaa mihin tahansa suuntaan, ei vain vasemmalta oikealle. Luonnollisten lukujen käsite sisältää jo ajatuksen järjestyksestä. Muodostamalla jonkin joukon alkioiden suhteellisen järjestelyn, määrittelemme sille jonkin binäärijärjestyksen suhteen, jolla voi kussakin tapauksessa olla oma nimensä, esimerkiksi "olla pienempi", "olla vanhempi", "on" sisältyä ", "seuraa" jne. Symboliset järjestysmerkinnät voivat myös vaihdella, esimerkiksi Í jne.

Järjestysrelaation tärkein erottuva piirre on, että sillä on transitiivisuus. Joten, jos olemme tekemisissä joidenkin objektien sarjan kanssa x 1, x 2, ..., x n,..., järjestetty esimerkiksi suhteen mukaan, sitten suoritettavan perusteella x 1x 2... x n..., sen pitäisi seurata sitä jokaiselle parille x i, x j myös tämän sekvenssin elementit täyttyvät x ix j:

Elementtiparille x ij relaatiograafissa piirretään nuoli kärjestä x i huipulle x j, eli pienemmästä elementistä suurempaan.

Järjestysrelaatiograafia voidaan yksinkertaistaa käyttämällä ns. menetelmää Hasse kaavioita. Hasse-kaavio on rakennettu seuraavasti. Pienemmät elementit sijoitetaan alemmas ja suuremmat korkeammalle. Koska tällainen sääntö ei yksin riitä kuvaamiseen, piirretään viivoja, jotka osoittavat kumpi kahdesta elementistä on suurempi ja mikä pienempi kuin toinen. Tässä tapauksessa riittää, että piirretään vain viivat välittömästi toisiaan seuraaville elementeille. Esimerkkejä Hasse-kaavioista on esitetty kuvassa:

Sinun ei tarvitse sisällyttää nuolia Hasse-kaavioon. Hasse-kaaviota voidaan kiertää tasossa, mutta ei mielivaltaisesti. Käännettäessä on tarpeen säilyttää kaavion kärkien suhteellinen sijainti (ylä - alla):

Asenne R ylenmäärin X nimeltään tiukan järjestyksen asenne, jos se on transitiivinen ja epäsymmetrinen.

Joukkoa, jossa on määritelty tiukka järjestyssuhde, kutsutaan tilattu. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko on järjestetty suhteessa "pienempi kuin". Mutta tätä samaa sarjaa järjestää myös toinen suhde - "jaettu" ja "enemmän".

Luonnollisten lukujen joukon "pienempi kuin" -relaation kuvaaja voidaan kuvata säteenä:

Asenne R V X kutsutaan suhteeksi ei-tiukka (osittainen) järjestys, jos se on transitiivinen ja antisymmetrinen. Mikä tahansa ei-tiukan järjestyksen suhde on refleksiivinen.

Epiteetti "osittainen" ilmaisee sen tosiasian, että ehkä kaikki joukon elementit eivät ole vertailukelpoisia tietyssä suhteessa.

Tyypillisiä esimerkkejä osittaisen järjestyksen suhteista ovat suhteet "ei suurempi kuin", "vähintään" ja "ei suurempi kuin". Partikkeli "ei" suhteiden nimissä ilmaisee niiden refleksiivisuutta. Suhde "enintään" on sama kuin "pienempi tai yhtä suuri" suhteen kanssa, ja suhde "ei pienempi" on sama kuin "suurempi tai yhtä suuri". Tässä suhteessa kutsutaan myös osittaista järjestystä ei tiukka järjestyksessä. Usein osittainen (ei-tiukka) järjestyssuhde on merkitty symbolilla "".

Sisällyssuhde Í tietyn joukon osajoukkojen välillä on myös osittainen järjestys. Ilmeisesti kaikki kaksi alajoukkoa eivät ole vertailukelpoisia tässä suhteessa. Alla oleva kuva näyttää osittaisen sisällyttämisjärjestyksen joukon kaikkien osajoukkojen joukossa (1,2,3). Kuvaajan nuolia, joiden pitäisi osoittaa ylöspäin, ei näytetä.

Joukot, joille osamääräys annetaan, kutsutaan osittain tilattu, tai yksinkertaisesti tilattu sarjat.

Elementit X Ja klo osittain tilattua sarjaa kutsutaan vertaa meihin Jos Xklo tai kloX. Muuten ne eivät ole vertailukelpoisia.

Kutsutaan järjestettyä joukkoa, jossa mitkä tahansa kaksi elementtiä ovat vertailukelpoisia lineaarisesti järjestetty, ja järjestys on lineaarinen. Lineaarista järjestystä kutsutaan myös täydelliseksi järjestykseksi.

Esimerkiksi kaikkien luonnollisen järjestyksen reaalilukujen joukko sekä kaikki sen osajoukot ovat lineaarisesti järjestettyjä.

Luonteeltaan mitä monipuolisimpia esineitä voi tilata hierarkkisesti. Tässä muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 1: Kirjan osat on järjestetty siten, että kirja sisältää lukuja, luvut sisältävät osia ja osat sisältävät alaosia.

Esimerkki 2. Tietokoneen tiedostojärjestelmän kansiot ovat sisäkkäin sisäkkäin muodostaen haarautuvan rakenteen.

Esimerkki 3. Vanhempien ja lasten välinen suhde voidaan kuvata ns Sukupuu, joka osoittaa, kuka on kenen esi-isä (tai jälkeläinen).

Päästä lavalle A annetaan osittainen tilaus. Elementti X nimeltään maksimi (minimi) joukon A elementti, jos siitä tosiasiasta Xklo(kloX), tasa-arvo seuraa X= u. Toisin sanoen elementti X on maksimi (minimi), jos mille tahansa elementille klo vai eikö se ole totta Xklo(kloX), tai se suoritetaan X=u. Näin ollen maksimi (minimi) alkio on suurempi (pienempi) kuin kaikki siitä eroavat elementit, joihin se on suhteessa.

Elementti X nimeltään suurin (pienin), jos jollekin kloÎ A suoritettu klo< х (х< у).

Osittain tilatussa sarjassa voi olla useita minimi- ja/tai maksimielementtejä, mutta minimi- ja maksimielementtejä voi olla vain yksi. Pienin (suurin) elementti on myös minimi (maksimi), mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa. Vasemmalla oleva kuva esittää osittaista järjestystä kahdella minimi- ja kahdella maksimielementillä ja oikealla osittaista järjestystä pienimmällä ja suurimmalla elementillä:

Edellisessä osittain järjestetyssä joukossa on aina minimi- ja maksimielementit.

Järjestättyä joukkoa, jossa on suurimmat ja pienin alkio, kutsutaan rajoitettu. Kuvassa on esimerkki äärettömästä rajallisesta joukosta. Tietysti on mahdotonta kuvata ääretöntä joukkoa rajallisella sivulla, mutta voit näyttää sen rakenteen periaatteen. Tässä ei näytetä kärkien lähellä olevia silmukoita piirtämisen yksinkertaistamiseksi. Samasta syystä kaaria, jotka näyttävät transitiivisuuden ominaisuuden, ei näytetä. Toisin sanoen kuvassa on Hasse-kaavio järjestyssuhteesta.

Äärettömissä joukoissa ei välttämättä ole enimmäis- tai vähimmäiselementtejä tai molempia. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon (1,2, 3, ...) pienin alkio on 1, mutta ei enimmäismäärää. Kaikkien luonnollisen järjestyksen reaalilukujen joukolla ei ole pienintä eikä suurinta alkiota. Kuitenkin sen osajoukko, joka koostuu kaikista luvuista X< 5, sillä on suurin elementti (numero 5), mutta sillä ei ole pienintä.

Luentosuunnitelma nro 14 Binäärisuhteiden luokittelu

1. Antisymmetristen suhteiden luokittelu
2. Refleksiivisten suhteiden luokittelu
2.1. Kvasijärjestyksen suhteet
2.2. Ei-tiukat osittaiset järjestyssuhteet
2.3. Ei-tiukat suhteet
2.4. Laadukas tilaus
2.5. Löysä heikko tilaus
2.6. Löysä järjestys
3. Tiukan ja ei-tiukan järjestyksen suhteiden kaksinaisuus
4. Katsaus erityyppisten suhteiden ominaisuuksiin

Antisymmetristen suhteiden luokittelu

Asyklisten suhdekaavioiden rakenne

Laadullisten järjestyssuhdekaavioiden rakenne

Heikon järjestyksen relaatiograafien rakenne

Tiukat suhteet

Tiukka järjestys (tiukka preferenssi, vahva järjestys, tiukka lineaarinen järjestys) on antirefleksiivinen, transitiivinen, heikosti yhdistetty binäärisuhde (12).

Tiukka järjestys on heikon järjestyksen erikoistapaus (tiukka osittainen etusija), jonka lisäehtona on heikko kytkentä.

Esimerkki: "tiukasti pienempi kuin" -relaatio kokonaislukujoukossa.

Refleksiivisten suhteiden luokittelu

Kvasijärjestyksen suhteet

Nämä binäärisuhteet mahdollistavat tietyn joukon elementtien vertailun, mutta ei samankaltaisuuden perusteella, vaan järjestämällä ryhmien elementit tiettyyn järjestykseen, ts. osittaisella tilauksella.

Kvasijärjestys (laksa osittainen preferenssi) on refleksiivinen ja transitiivinen binäärirelaatio (3).

Esimerkki: "olla veli" (Ivan-Peter, Andrey-Anna)

Kvasimääräysten ominaisuudet

1. Kvasijärjestyksen leikkauspiste pysyy kvasijärjestyksenä.
2. Kvasijärjestyksen symmetrisellä osalla on refleksiivisuuden, symmetrian ja transitiivisuuden ominaisuuksia ja se on siksi ekvivalenssirelaatio. R c = R / R inv
3. Tämän leikkauspisteen avulla on mahdollista tunnistaa toisiaan vastaavia vaihtoehtoryhmiä, jolloin valittujen ryhmien välille voidaan muodostaa alkuperäisen suhteen generoima ei-tiukka osittainen järjestyssuhde.
4. Kvasijärjestyksen epäsymmetrinen osa on transitiivinen ja antirefleksiivinen relaatio = kvalitatiivinen järjestys.

Ei-tiukat osittaiset järjestyssuhteet

Ei-tiukka osajärjestysrelaatio (4) on relaatio, jolla on refleksiivisuuden, antisymmetrian ja transitiivisuuden ominaisuuksia.

Heikko osajärjestys on antisymmetrinen kvasijärjestys

Esimerkki: joukoille (ja niiden osajoukoille) määritetty "ole osa"-relaatio

Ei-tiukkojen osatilausten ominaisuudet

1. Ei-tiukkojen osamääräysten leikkauspiste pysyy ei-tiukana osamääräyksenä.
2. Ei-tiukan osajärjestyksen symmetrinen osa on diagonaali.
3. Ei-tiukan osajärjestyksen epäsymmetrinen osa on (tiukka) laadullinen järjestys.
4. Älykkäiden järjestelmien teoriassa tärkeä rooli on osittain järjestetyillä joukoilla - domaineilla sekä niihin määritellyillä ei-tiukkojen osittaisen järjestyksen suhteilla.
5. Osittain järjestettyjä joukkoja, joiden lisäominaisuus on ylä- ja alarajan olemassaolo jokaiselle alkioparille, kutsutaan hilaksi. Erityinen hilan tapaus ovat Boolen algebrat.

Löysät tilaussuhteet

Löysä järjestys on refleksiivinen suhde, jolla on heikosti yhdistetty ominaisuus (5).

Löysä järjestys voidaan määritellä myös täysin yhdistetyksi suhteeksi.

Löysä järjestyssuhde voidaan esittää joidenkin toleranssi- ja dominanssisuhteiden yhdistämisen seurauksena.

Ei-tiukan osittaisen järjestyksen suhteiden ominaisuudet

1. Täysin yhteydessä olevien suhteiden leikkauspiste ja liitto pysyvät täysin kytkeytyvänä suhteena.
2. Epätiukan osittaisen järjestyksen symmetrinen osa on toleranssi.
3. Ei-tiukan osittaisen järjestyksen epäsymmetrinen osa on dominanssi.
4. Täysin yhteydessä oleville suhteille transitiivisuuden välttämätön ehto on suhteen negatiivisuus.
5. Täysin yhteydessä oleville suhteille transitiivisuuden ominaisuus on riittävä ehto suhteen negatiivisuudelle.

Ei-tiukan laadullisen järjestyksen suhteet

Binäärirelaatiota R kutsutaan ei-tiukkaksi kvalitatiiviseksi järjestykseksi, jos se on negatiivisesti transitiivinen ja täysin kytketty (6).

Ei-tiukka laadullinen järjestys on negatiivinen ei-tiukka järjestys.

Epätiukan laadullisen järjestyksen suhde voidaan esittää joidenkin suvaitsevaisuuden ja laadullisen järjestyksen suhteiden yhdistämisen tuloksena.

Ei-tiukan laadullisen järjestyksen suhteiden ominaisuudet

1. Ei-tiukan laadullisen järjestyksen symmetrinen osa on toleranssi. NT?
2. Ei-tiukan laadullisen järjestyksen epäsymmetrinen osa on transitiivinen, joten se on kvalitatiivisen järjestyksen relaatio.
3. Siten ei-tiukan kvalitatiivisen järjestyksen suhde voidaan esittää tuloksena yhdistämällä alkuperäisen suhteen synnyttämät toleranssin ja laadullisen järjestyksen suhteet.
4. Kaksoisrelaatiolla on epäsymmetrian ja transitiivisuuden ominaisuudet ja se on siksi laadullisen järjestyksen relaatio.

Ei-tiukat heikot järjestyssuhteet

Ei-tiukka heikko järjestys on täysin yhdistetty transitiivinen ja negatiivinen transitiivinen relaatio (7).

Täysin yhdistettyä transitiivista relaatiota kutsutaan ei-tiukkaksi heikoksi järjestykseksi.

Ei-tiukka heikko tilaus on transitiivinen ei-tiukka tilaus.

Ei-tiukan heikon järjestyksen suhteiden ominaisuudet

1. Ei-tiukan heikon järjestyksen symmetrinen osa on ekvivalenssi.
2. Ei-tiukan heikon järjestyksen epäsymmetrinen osa Rac on transitiivinen, joten se on kvalitatiivisen järjestyksen relaatio.
3. Siten ei-tiukka heikon järjestyksen relaatio voidaan esittää tuloksena yhdistämällä alkuperäisen suhteen generoimat ekvivalenssi- ja heikkojärjestyssuhteet.
4. Ei-tiukka heikko järjestys voidaan esittää joukkona osittain järjestettyjä kerroksia, joista jokainen on ekvivalenssiluokka.

Ei-tiukan (lineaarisen) järjestyksen suhteet

Ei-tiukka järjestys (ei-tiukka lineaarinen järjestys) on antisymmetrinen, transitiivinen, täysin yhdistetty binäärirelaatio (8).

Ei-tiukka järjestys on antisymmetrinen ei-tiukka heikko järjestys.

Ei-tiukka järjestys on antisymmetrinen ei-tiukka järjestys.

Epätiukan lineaarisen järjestyksen suhteiden ominaisuudet

1. Ei-tiukan järjestyksen symmetrinen osa on diagonaali.
2. Ei-tiukan järjestyksen epäsymmetrinen osa Rac on transitiivinen ja heikosti kytketty, joten se on tiukan järjestyksen suhde.
3. Kaksoisrelaatiolla on epäsymmetrian, negatiivisuuden ja heikon yhteyden ominaisuudet, joten se on tiukan järjestyksen suhde. Lisäksi se on sama kuin R ac.
4. Siten ei-tiukka järjestyssuhde voidaan esittää alkuperäisen suhteen generoiman diagonaalisen ja tiukan järjestyksen yhdistämisen tuloksena.

Tiukan ja ei-tiukan järjestyksen suhteiden kaksinaisuus

Yleiskatsaus erityyppisten suhteiden ominaisuuksiin

Sanaa "tilaus" käytetään usein erilaisissa asioissa. Upseeri antaa käskyn: "Numeroiden järjestyksen mukaan laske", laskutoimitukset suoritetaan tietyssä järjestyksessä, urheilijat luokitellaan pituuden mukaan, on järjestys operaatioiden suorittamiseen osia tehtäessä ja sanajärjestys lauseessa.

Mikä on yleistä kaikissa tapauksissa, kun puhutaan järjestyksestä? Tosiasia on, että sanalla "järjestys" on seuraava merkitys: se tarkoittaa, mikä tietyn joukon elementti seuraa mitä (tai mikä elementti edeltää mitä).

Asenne" X seuraa klo"transitiivinen: jos" X seuraa klo"ja" klo seuraa z", tuo" x seuraa z" Lisäksi tämän suhteen on oltava antisymmetrinen: kahdelle erilaiselle X Ja klo, Jos X seuraa klo, Tuo klo ei seuraa X.

Määritelmä. Asenne R sarjassa X nimeltään tiukan järjestyksen suhteen, jos se on transitiivinen ja antisymmetrinen.

Selvitetään graafin ja tiukan järjestyksen suhteiden graafin piirteet.

Katsotaanpa esimerkkiä. Kuvauksissa X= (5, 7, 10, 15, 12) annettu suhde R: « X < klo" Määritellään tämä suhde luettelemalla parit
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Rakennetaan sen kaavio. Näemme, että tämän suhteen kaaviossa ei ole silmukoita. Kaaviossa ei ole kaksoisnuolia. Jos alkaen X nuoli menee kohtaan klo, ja alkaen klo- V z, sitten alkaen X nuoli menee kohtaan z(Kuva 8).

Rakennetun graafin avulla voit järjestää joukon elementit X tässä järjestyksessä:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Kuvan 6 (tämän luvun 6 §) sarakkeet VII, VIII ovat kaavioita tiukan järjestyksen suhteista.

Ei-tiukka suhde

Reaalilukujoukon suhteen "pienempi kuin" vastakohta on relaatio "ei vähemmän". Se ei ole enää tiukan järjestyksen suhde. Pointti on, milloin X = klo, suhteet täyttyvät X ³ klo Ja klo ³ X, eli "ei vähempää" -asenne on refleksiivinen.

Määritelmä. Asenne R sarjassa X nimeltään ei-tiukka suhde, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen.

Tällaiset suhteet ovat tiukan järjestyksen liittoja identiteettisuhteen kanssa.

Harkitse suhdetta "ei enää" (£) joukolle

X= (5, 7, 10, 15, 12). Rakennetaan sen kaavio (kuva 9).

Ei-tiukan järjestyksen relaatiograafissa, toisin kuin tiukan järjestyksen relaatiograafissa, on silmukat jokaisessa kärjessä.

Kuvassa 6 (tämän luvun 6 §) sarakkeet V, VI ovat graafisia suhteita, joiden järjestys ei ole tiukka.

Tilatut setit

Joukko voi osoittautua järjestetyksi (sanotaan myös täysin järjestetyksi) jonkin järjestyssuhteen mukaan, kun taas toinen joukko voi olla järjestämätön tai osittain järjestetty sellaisen suhteen.

Määritelmä. Joukko X nimeltään tilattu jokin järjestyssuhde R, jos kahdelle elementille x, y alkaen X:

(X, klo) Î R tai ( y, x) Î R.

Jos R on tiukan järjestyksen suhde, sitten joukko X tilattu tämän suhteen edellyttäen: jos X, klo joukon mitkä tahansa kaksi eriarvoista elementtiä X, Se ( X, klo) Î R tai ( y, x) Î R tai mitkä tahansa kaksi elementtiä x, y sarjat X ovat tasa-arvoisia.

Koulun matematiikan kurssista tiedetään, että lukujoukot N , Z , K , R järjestetty suhteella "vähemmän kuin" (<).

Tietyn joukon osajoukkoja ei järjestetä ottamalla käyttöön inkluusiorelaatio (I) tai tiukka inkluusio (S) edellä mainitussa mielessä, koska on osajoukkoja, joista mikään ei sisälly toiseen. Tässä tapauksessa sanotaan, että annettu joukko on osittain järjestetty suhteessa Í (tai Ì).

Harkitse sarjaa X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) ja se sisältää kaksi relaatiota "pienempi kuin" ja "jaettuna". On helppo varmistaa, että molemmat suhteet ovat järjestyssuhteita. "Pienempi kuin" -relaatiokaavio voidaan kuvata säteenä.

Suhteen kuvaaja "jaettuna" voidaan kuvata vain tasossa.

Lisäksi toisen suhteen kaaviossa on pisteitä, joita ei ole yhdistetty nuolella. Esimerkiksi numeroita 4 ja 5 yhdistävää nuolta ei ole (kuva 10).

Ensimmäinen suhde" X < klo" kutsutaan lineaariseksi. Yleensä, jos suhde on järjestyksessä R(tiukka ja ei-tiukka) kuvauksissa X on omaisuus: mille tahansa X, kloÎ X tai xRy, tai yRx, niin sitä kutsutaan lineaariseksi järjestysrelaatioksi ja joukoksi X– lineaarisesti järjestetty sarja.

Jos setti X tietysti ja koostuu n elementtejä, sitten lineaarinen järjestys X sen elementit on numeroitava numeroilla 1,2,3, ..., n.

Lineaarisesti järjestetyillä sarjoilla on useita ominaisuuksia:

1°. Antaa a, b, c– sarjan elementtejä X, tilannut suhteen R. Jos niin tiedetään aRв Ja julkaisussa Rс, silloin he sanovat, että elementti V sijaitsee elementtien välissä A Ja Kanssa.

2°. Joukko X, lineaarisesti järjestetyssä suhteessa R, kutsutaan diskreetiksi, jos minkä tahansa sen kahden alkion välillä on vain äärellinen joukko tämän joukon alkioita.

3°. Lineaarisesti järjestettyä joukkoa kutsutaan tiheäksi, jos minkä tahansa tämän joukon erillisen alkion välillä on joukon alkio.

Olkoon R binäärirelaatio joukossa A.

MÄÄRITELMÄ. Binäärirelaatiota R joukossa A kutsutaan järjestysrelaatioksi A:ssa tai järjestykseksi A:ssa, jos se on transitiivinen ja antisymmetrinen.

MÄÄRITELMÄ. R-asteen relaatiota joukossa A kutsutaan ei-tiukkaksi, jos se on refleksiivinen A:ssa, eli jokaiselle A:lle.

Järjestysrelaatiota R kutsutaan tiukaksi (A:ssa), jos se on anti-refleksiivinen A:ssa, eli jollekin A:sta. Transitiivisen suhteen R antireflexiivisuudesta seuraa kuitenkin, että se on antisymmetrinen. Siksi voidaan antaa seuraava vastaava määritelmä.

MÄÄRITELMÄ. Binäärirelaatiota R joukossa A kutsutaan tiukaksi järjestykseksi A:ssa, jos se on transitiivinen ja antirefleksiivinen joukossa A.

Esimerkkejä. 1. Olkoon joukon M kaikkien osajoukkojen joukko. Joukkoon kuuluva inkluusiorelaatio on ei-tiukan järjestyksen relaatio.

2. Reaalilukujen joukon suhteet ovat vastaavasti tiukan ja ei-tiukan järjestyksen suhteita.

3. Luonnollisten lukujen joukon jaotuvuusrelaatio on epätiukan järjestyksen relaatio.

MÄÄRITELMÄ. Binäärirelaatiota R joukossa A kutsutaan preorderrelaatioksi tai preorderiksi joukossa A, jos se on refleksiivinen ja transitiivinen.

Esimerkkejä. 1. Kokonaislukujoukon jaotuvuussuhde ei ole järjestys. Se on kuitenkin refleksiivinen ja transitiivinen, mikä tarkoittaa, että se on ennakkotilaus.

2. Loogisen implikoinnin relaatio on ennakkotilaus lauselogiikan kaavojen joukossa.

Lineaarinen järjestys. Tärkeä järjestyksen erikoistapaus on lineaarinen järjestys.

MÄÄRITELMÄ. Järjestysrelaatiota joukossa kutsutaan lineaariseksi järjestysrelaatioksi tai lineaariseksi järjestyssuhteeksi, jos se on kytketty päälle, eli mille tahansa x:lle, y:lle A:sta

Järjestyssuhdetta, joka ei ole lineaarinen, kutsutaan yleensä osittaisjärjestyssuhteeksi tai osittaiseksi järjestykseksi.

Esimerkkejä. 1. Reaalilukujoukon relaatio "pienempi kuin" on lineaarista järjestystä oleva relaatio.

2. Venäjän kielten sanakirjoissa omaksuttua järjestyssuhdetta kutsutaan leksikografiseksi. Venäjän kielen sanajoukon leksikografinen järjestys on lineaarinen.