Deformacije i pomaci. Hookeov zakon

Hookeov zakon je u 17. stoljeću otkrio Englez Robert Hooke. Ovo otkriće o istezanju opruge jedan je od zakona teorije elastičnosti i ima važnu ulogu u znanosti i tehnologiji.

Definicija i formula Hookeovog zakona

Formulacija ovog zakona je sljedeća: elastična sila koja se pojavljuje u trenutku deformacije tijela proporcionalna je produljenju tijela i usmjerena je suprotno kretanju čestica ovog tijela u odnosu na druge čestice tijekom deformacije.

Matematička notacija zakona izgleda ovako:

Riža. 1. Formula Hookeovog zakona

Gdje Fupr– prema tome, elastična sila, x– elongacija tijela (udaljenost za koju se mijenja izvorna duljina tijela), i k– koeficijent proporcionalnosti, koji se naziva krutost tijela. Sila se mjeri u Newtonima, a produljenje tijela u metrima.

Da biste otkrili fizičko značenje krutosti, morate zamijeniti jedinicu u kojoj se mjeri produljenje u formuli za Hookeov zakon - 1 m, nakon što ste prethodno dobili izraz za k.

Riža. 2. Formula krutosti tijela

Ova formula pokazuje da je krutost tijela brojčano jednaka sili elastičnosti koja se javlja u tijelu (opruzi) kada se ono deformira za 1 m. Poznato je da krutost opruge ovisi o njezinom obliku, veličini i materijalu od kojega je tijelo načinjeno.

Elastična sila

Sada kada znamo koja formula izražava Hookeov zakon, potrebno je razumjeti njegovu osnovnu vrijednost. Glavna veličina je elastična sila. Pojavljuje se u određenom trenutku kada se tijelo počne deformirati, na primjer, kada se opruga stisne ili rastegne. Usmjeren je u suprotnom smjeru od gravitacije. Kada se elastična sila i sila teže koje djeluju na tijelo izjednače, oslonac i tijelo se zaustavljaju.

Deformacija je nepovratna promjena koja nastaje u veličini i obliku tijela. Povezani su s kretanjem čestica jedna u odnosu na drugu. Ako osoba sjedi na mekom stolcu, tada će doći do deformacije stolca, odnosno promijenit će se njegove karakteristike. Dolazi u različitim vrstama: savijanje, istezanje, kompresija, smicanje, torzija.

Budući da je elastična sila po svom podrijetlu povezana s elektromagnetskim silama, trebali biste znati da ona nastaje zbog činjenice da se molekule i atomi - najmanje čestice od kojih se sastoje sva tijela - međusobno privlače i odbijaju. Ako je udaljenost između čestica vrlo mala, tada na njih djeluje odbojna sila. Ako se ta udaljenost poveća, tada će na njih djelovati sila privlačenja. Dakle, razlika između privlačnih i odbojnih sila očituje se u elastičnim silama.

Elastična sila uključuje silu reakcije tla i težinu tijela. Posebno je zanimljiva snaga reakcije. To je sila koja djeluje na tijelo kada se ono postavi na bilo koju površinu. Ako je tijelo obješeno, tada se sila koja na njega djeluje naziva sila napetosti niti.

Značajke elastičnih sila

Kao što smo već saznali, elastična sila nastaje tijekom deformacije, a usmjerena je na vraćanje izvornih oblika i veličina strogo okomito na deformiranu površinu. Elastične sile također imaju niz svojstava.

nastaju tijekom deformacije;
pojavljuju se u dva deformabilna tijela istovremeno;
okomite su na podlogu u odnosu na koju je tijelo deformirano.
suprotnog su smjera od pomaka čestica tijela.

Primjena zakona u praksi

Hookeov zakon primjenjuje se kako u tehničkim i visokotehnološkim uređajima, tako iu samoj prirodi. Na primjer, elastične sile nalaze se u mehanizmima satova, u amortizerima u transportu, u užadima, gumicama, pa čak i u ljudskim kostima. Načelo Hookeovog zakona leži u osnovi dinamometra, uređaja koji se koristi za mjerenje sile.

Ministarstvo obrazovanja Autonomne Republike Krim

Nacionalno sveučilište Tauride nazvano po. Vernadski

Studij fizikalnog zakona

HOOKEOV ZAKON

Izvršio: student 1. god

Fizički fakultet gr. F-111

Potapov Evgenij

Simferopol-2010

Plan:

Veza između kojih pojava ili veličina je izražena zakonom.

Izjava zakona

Matematički izraz zakona.

Kako je zakon otkriven: na temelju eksperimentalnih podataka ili teoretski?

Iskustvene činjenice na temelju kojih je formuliran zakon.

Eksperimenti koji potvrđuju valjanost zakona formuliranog na temelju teorije.

Primjeri korištenja zakona i uzimanja u obzir učinka zakona u praksi.

Književnost.

Odnos između kojih pojava ili veličina izražava zakon:

Hookeov zakon povezuje pojave kao što su naprezanje i deformacija čvrstog tijela, modul elastičnosti i istezanje. Modul elastične sile koja nastaje pri deformaciji tijela proporcionalan je njegovom produljenju. Istezanje je karakteristika deformabilnosti materijala, koja se procjenjuje povećanjem duljine uzorka tog materijala kada se rasteže. Elastična sila je sila koja nastaje tijekom deformacije tijela i suprotstavlja se toj deformaciji. Naprezanje je mjera unutarnjih sila koje nastaju u deformabilnom tijelu pod utjecajem vanjskih utjecaja. Deformacija je promjena relativnog položaja čestica tijela povezana s njihovim kretanjem jedna u odnosu na drugu. Ovi pojmovi povezani su takozvanim koeficijentom krutosti. Ovisi o elastičnim svojstvima materijala i veličini tijela.

Izjava zakona:

Hookeov zakon jednadžba je teorije elastičnosti koja povezuje naprezanje i deformaciju elastičnog medija.

Formulacija zakona je da je elastična sila izravno proporcionalna deformaciji.

Matematički izraz zakona:

Za tanki vlačni štap Hookeov zakon ima oblik:

Ovdje F sila napetosti šipke, Δ l- njegovo istezanje (kompresija), i k nazvao koeficijent elastičnosti(ili krutost). Minus u jednadžbi označava da je sila zatezanja uvijek usmjerena u smjeru suprotnom od deformacije.

Ako unesete relativno izduženje

a normalno naprezanje u presjeku

onda će Hookeov zakon biti napisan ovako

U ovom obliku vrijedi za sve male volumene materije.

U općem slučaju naprezanje i deformacija su tenzori drugog reda u trodimenzionalnom prostoru (imaju po 9 komponenti). Tenzor elastičnih konstanti koji ih povezuje je tenzor četvrtog ranga C ijkl i sadrži 81 koeficijent. Zbog simetričnosti tenzora C ijkl, kao i tenzori naprezanja i deformacija, samo je 21 konstanta neovisna. Hookeov zakon izgleda ovako:

gdje je σ i J- tenzor naprezanja, - tenzor deformacija. Za izotropni materijal, tenzor C ijkl sadrži samo dva nezavisna koeficijenta.

Kako je zakon otkriven: na temelju eksperimentalnih podataka ili teoretski:

Zakon je 1660. godine otkrio engleski znanstvenik Robert Hooke (Hook) na temelju promatranja i eksperimenata. Do otkrića je, kako navodi Hooke u svom eseju “De potentia restitutiva”, objavljenom 1678., došao 18 godina ranije, a 1676. ono je stavljeno u drugu njegovu knjigu pod krinkom anagrama “ceiiinosssttuv”, što znači “Ut tensio sic vis” . Prema objašnjenju autora, navedeni zakon proporcionalnosti ne vrijedi samo za metale, već i za drvo, kamenje, rog, kosti, staklo, svilu, kosu itd.

Iskustvene činjenice na temelju kojih je zakon formuliran:

O tome povijest šuti..

Eksperimenti koji potvrđuju valjanost zakona formuliranog na temelju teorije:

Zakon je formuliran na temelju eksperimentalnih podataka. Doista, pri istezanju tijela (žice) s određenim koeficijentom krutosti k na udaljenost Δ l, tada će njihov umnožak po veličini biti jednak sili koja isteže tijelo (žicu). Ovaj će odnos vrijediti, međutim, ne za sve deformacije, već za male. Kod velikih deformacija prestaje vrijediti Hookeov zakon i tijelo se urušava.

Primjeri korištenja zakona i uzimanja u obzir učinka zakona u praksi:

Kao što proizlazi iz Hookeovog zakona, produljenje opruge može se koristiti za procjenu sile koja na nju djeluje. Ova se činjenica koristi za mjerenje sila pomoću dinamometra - opruge s linearnom skalom kalibriranom za različite vrijednosti sila.

Književnost.

1. Internetski resursi: - Wikipedia web stranica (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. udžbenik fizike Peryshkin A.V. 9. razred

3. udžbenik fizike V.A. Kasjanov 10. razred

4. predavanja iz mehanike Ryabushkin D.S.

Kada se štap rasteže i sabija, mijenjaju se njegova duljina i dimenzije poprečnog presjeka. Ako iz šipke u nedeformiranom stanju mentalno odaberete element duljine dx, tada će nakon deformacije njegova duljina biti jednaka dx((Slika 3.6). U ovom slučaju, apsolutno izduženje u smjeru osi Oh bit će jednaki

i relativna linearna deformacija e x određuje jednakost

Budući da os Oh poklapa se s osi štapa duž koje djeluju vanjska opterećenja, nazovimo ih deformacijom e x uzdužna deformacija, za koju ćemo nadalje izostaviti indeks. Deformacije u smjerovima okomitim na os nazivaju se poprečne deformacije. Ako označimo sa b karakteristična veličina poprečnog presjeka (sl. 3.6), tada je poprečna deformacija određena relacijom

Relativne linearne deformacije su bezdimenzijske veličine. Utvrđeno je da su poprečne i uzdužne deformacije tijekom središnjeg zatezanja i stiskanja štapa međusobno povezane odnosom

Veličina v koja je uključena u ovu jednakost naziva se Poissonov omjer odnosno koeficijent poprečne deformacije. Ovaj koeficijent je jedna od glavnih konstanti elastičnosti materijala i karakterizira njegovu sposobnost podvrgavanja poprečnim deformacijama. Za svaki materijal, određuje se iz pokusa rastezanja ili kompresije (vidi § 3.5) i izračunava se pomoću formule

Kao što proizlazi iz jednakosti (3.6), uzdužne i poprečne deformacije uvijek imaju suprotne predznake, što potvrđuje očiglednu činjenicu da se tijekom napetosti dimenzije poprečnog presjeka smanjuju, a tijekom tlačenja povećavaju.

Poissonov omjer je različit za različite materijale. Za izotropne materijale može poprimiti vrijednosti u rasponu od 0 do 0,5. Na primjer, za balza drvo Poissonov omjer je blizu nule, a za gumu je blizu 0,5. Za mnoge metale pri normalnim temperaturama, Poissonov omjer je u rasponu od 0,25+0,35.

Kao što je utvrđeno brojnim pokusima, za većinu konstrukcijskih materijala pri malim deformacijama postoji linearni odnos između naprezanja i deformacija.

Ovaj zakon proporcionalnosti prvi je uspostavio engleski znanstvenik Robert Hooke i naziva se Hookeov zakon.

Konstanta uključena u Hookeov zakon E koji se naziva modulom elastičnosti. Modul elastičnosti je druga glavna konstanta elastičnosti materijala i karakterizira njegovu krutost. Kako su deformacije bezdimenzionalne veličine, iz (3.7) proizlazi da modul elastičnosti ima dimenziju naprezanja.

U tablici Tablica 3.1 prikazuje vrijednosti modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta za različite materijale.

Pri projektiranju i proračunu konstrukcija, uz proračun naprezanja, potrebno je odrediti i pomake pojedinih točaka i čvorova konstrukcija. Razmotrimo metodu za izračunavanje pomaka tijekom središnje napetosti i kompresije štapova.

Apsolutno produljenje duljine elementa dx(Sl. 3.6) prema formuli (3.5) jednako je

Tablica 3.1

Naziv materijala	Modul elastičnosti, MPa	Koeficijent Poisson
Ugljični čelik
Aluminijske legure
Legure titana

	(1,15-s-1,6) 10 5

uz zrno	(0,1 ^ 0,12) 10 5
preko zrna	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5


Zidanje od opeke	(0,027 +0,03)-10 5

Stakloplastika SVAM
Tekstolit	(0,07 + 0,13)-10 5
Guma na gumu

Integrirajući ovaj izraz u rasponu od 0 do x, dobivamo

Gdje njihov) - aksijalni pomak proizvoljnog presjeka (slika 3.7), i C= u( 0) - aksijalni pomak početnog presjeka x = 0. Ako je taj presjek fiksan, tada je u(0) = 0 i pomak proizvoljnog presjeka jednak je

Produljenje ili skraćivanje štapa jednako je aksijalnom pomaku njegovog slobodnog kraja (slika 3.7), čija se vrijednost dobiva iz (3.8), uzimajući x = 1:

Zamjenom izraza za deformaciju u formulu (3.8)? iz Hookeovog zakona (3.7) dobivamo

Za štap izrađen od materijala s konstantnim modulom elastičnosti E aksijalna gibanja određena su formulom

Integral uključen u ovu jednakost može se izračunati na dva načina. Prva metoda je analitički napisati funkciju Oh) i naknadnu integraciju. Druga metoda temelji se na činjenici da je integral koji se razmatra numerički jednak površini dijagrama a u odjeljku . Uvođenje oznake

Razmotrimo posebne slučajeve. Za štap rastegnut koncentriranom silom R(riža. 3.3, a), uzdužna sila./V konstantna je po dužini i jednaka R. Naponi a prema (3.4) također su konstantni i jednaki

Tada iz (3.10) dobivamo

Iz ove formule slijedi da ako su naprezanja na određenom dijelu štapa konstantna, tada se pomaci mijenjaju prema linearnom zakonu. Zamjena u posljednju formulu x = 1, Nađimo izduženje štapa:

Raditi E.F. nazvao krutost štapa na napetost i pritisak.Što je ta vrijednost veća, to je produljenje ili skraćivanje štapa manje.

Promotrimo štap pod djelovanjem jednoliko raspodijeljenog opterećenja (sl. 3.8). Uzdužna sila u proizvoljnom presjeku koji se nalazi na udaljenosti x od pričvršćenja jednaka je

Dijeljenjem N na F, dobivamo formulu za naprezanja

Zamjenom ovog izraza u (3.10) i integriranjem, nalazimo

Najveći pomak, jednak izduženju cijelog štapa, dobiva se zamjenom x = / u (3.13):

Iz formula (3.12) i (3.13) jasno je da ako naprezanja linearno ovise o x, tada se pomaci mijenjaju prema zakonu kvadratne parabole. Dijagrami N, o i I prikazano na sl. 3.8.

Opća diferencijalna ovisnost povezujućih funkcija njihov) i a(x), mogu se dobiti iz relacije (3.5). Zamjenom e iz Hookeovog zakona (3.7) u ovu relaciju, nalazimo

Iz ove ovisnosti slijede, posebno, obrasci promjena u funkciji zabilježeni u primjerima koji su gore razmotreni njihov).

Osim toga, može se primijetiti da ako u bilo kojem dijelu naprezanja padnu na nulu, tada u dijagramu I u ovom dijelu može postojati ekstrem.

Kao primjer, napravimo dijagram I za šipku prikazanu na sl. 3.2, stavljanje E- 10 4 MPa. Izračunavanje površine parcele O za različita područja nalazimo:

presjek x = 1 m:

dionica x = 3 m:

dionica x = 5 m:

Na gornjem dijelu dijagrama štapa I je kvadratna parabola (sl. 3.2, e). U tom slučaju u presjeku x = 1 m postoji ekstrem. U donjem dijelu, priroda dijagrama je linearna.

Ukupno produljenje štapa, koje je u ovom slučaju jednako

može se izračunati pomoću formula (3.11) i (3.14). Budući da je donji dio šipke (vidi sl. 3.2, A) rastegnut silom R ( njegovo proširenje prema (3.11) jednako je

Djelovanje sile R ( također se prenosi na gornji dio štapa. Osim toga, komprimira se silom R 2 a rastegnuta je jednoliko raspodijeljenim opterećenjem q. U skladu s tim, promjena njegove duljine izračunava se formulom

Zbrajajući vrijednosti A/ i A/ 2, dobivamo isti rezultat kao što je gore navedeno.

Zaključno, treba napomenuti da se, unatoč malom pomaku i izduženju (skraćivanju) šipki tijekom napetosti i kompresije, ne mogu zanemariti. Sposobnost izračunavanja ovih veličina važna je u mnogim tehnološkim problemima (na primjer, pri postavljanju konstrukcija), kao i za rješavanje statički neodređenih problema.

Kao što znate, fizika proučava sve zakone prirode: od najjednostavnijih do najopćenitijih načela prirodnih znanosti. Čak iu onim područjima gdje se čini da ih fizika ne može razumjeti, ona ipak igra primarnu ulogu, i svaki najmanji zakon, svaki princip - ništa joj ne izmiče.

U kontaktu s

Fizika je osnova temelja; to je ono što leži u podrijetlu svih znanosti.

Fizika proučava međudjelovanje svih tijela, i paradoksalno mala i nevjerojatno velika. Moderna fizika aktivno proučava ne samo mala, već hipotetska tijela, pa čak i to baca svjetlo na bit svemira.

Fizika je podijeljena na dijelove, to pojednostavljuje ne samo samu znanost i njezino razumijevanje, već i metodologiju proučavanja. Mehanika se bavi kretanjem tijela i međudjelovanjem tijela koja se kreću, termodinamika toplinskim procesima, elektrodinamika električnim procesima.

Zašto bi mehanika trebala proučavati deformaciju?

Kada govorimo o kompresiji ili napetosti, trebali biste si postaviti pitanje: koja bi grana fizike trebala proučavati ovaj proces? S jakim izobličenjima može se osloboditi toplina, možda bi se termodinamika trebala baviti tim procesima? Ponekad kad se tekućine komprimiraju, počinje ključati, a kad se plinovi komprimiraju, nastaju tekućine? Dakle, treba li hidrodinamika razumjeti deformaciju? Ili teorija molekularne kinetike?

Sve ovisi na silu deformacije, na njen stupanj. Ako deformabilni medij (materijal koji se komprimira ili rasteže) dopušta, a kompresija je mala, ima smisla ovaj proces smatrati kretanjem nekih točaka tijela u odnosu na druge.

A kako je pitanje čisto vezano, znači da će se time baviti mehaničari.

Hookeov zakon i uvjeti za njegovo ispunjenje

Godine 1660. poznati engleski znanstvenik Robert Hooke otkrio je fenomen koji se može koristiti za mehaničko opisivanje procesa deformacije.

Da bismo razumjeli pod kojim uvjetima je Hookeov zakon zadovoljen, Ograničimo se na dva parametra:

Srijeda;
sila.

Postoje mediji (na primjer, plinovi, tekućine, posebno viskozne tekućine bliske krutim stanjima ili, obrnuto, vrlo fluidne tekućine) za koje je nemoguće mehanički opisati proces. Suprotno tome, postoje okruženja u kojima, s dovoljno velikim silama, mehanika prestaje "raditi".

Važno! Na pitanje: "U kojim je uvjetima Hookeov zakon istinit?", može se dati definitivan odgovor: "Kod malih deformacija."

Hookeov zakon, definicija: Deformacija koja se javlja u tijelu izravno je proporcionalna sili koja uzrokuje tu deformaciju.

Naravno, ova definicija podrazumijeva sljedeće:

kompresija ili rastezanje je mala;
elastični predmet;
sastoji se od materijala u kojem nema nelinearnih procesa kao rezultat kompresije ili napetosti.

Hookeov zakon u matematičkom obliku

Hookeova formulacija, koju smo gore citirali, omogućuje da se zapiše u sljedećem obliku:

gdje je promjena duljine tijela uslijed kompresije ili rastezanja, F je sila koja djeluje na tijelo i uzrokuje deformaciju (elastična sila), k je koeficijent elastičnosti, mjeren u N/m.

Treba zapamtiti da Hookeov zakon vrijedi samo za male dionice.

Također napominjemo da ima isti izgled kada se rasteže i stisne. S obzirom da je sila vektorska veličina i ima smjer, tada će u slučaju kompresije sljedeća formula biti točnija:

Ali opet, sve ovisi o tome gdje će biti usmjerena os u odnosu na koju mjerite.

Koja je temeljna razlika između kompresije i ekstenzije? Ništa ako je beznačajno.

Stupanj primjenjivosti može se smatrati sljedećim:

Obratimo pozornost na grafikon. Kao što vidimo, kod malih rastezanja (prva četvrtina koordinate), dugo je vrijeme sila s koordinatom u linearnom odnosu (crvena linija), ali onda pravi odnos (točkasta linija) postaje nelinearan, a zakon prestaje biti istina. U praksi se to očituje tako jakim rastezanjem da se opruga prestaje vraćati u prvobitni položaj i gubi svoja svojstva. Uz još više rastezanja dolazi do loma i rušenja strukture materijal.

Kod malih kompresija (treća četvrtina koordinate) dugo vremena sila s koordinatom također ima linearan odnos (crvena linija), ali tada stvarni odnos (točkasta linija) postaje nelinearan i sve opet prestaje funkcionirati. U praksi to rezultira tako jakom kompresijom da počinje se oslobađati toplina a opruga gubi svoja svojstva. Uz još veću kompresiju, zavojnice opruge se "slijepe" i ona se počinje okomito deformirati, a zatim se potpuno rastali.

Kao što vidite, formula koja izražava zakon omogućuje vam da pronađete silu, znajući promjenu duljine tijela, ili, znajući elastičnu silu, izmjerite promjenu duljine:

Također, u nekim slučajevima možete pronaći koeficijent elastičnosti. Da biste razumjeli kako se to radi, razmotrite primjer zadatka:

Na oprugu je spojen dinamometar. Rastegnut je djelovanjem sile 20, zbog čega je postao dug 1 metar. Zatim su je pustili, pričekali da vibracije prestanu i da se vratila u normalno stanje. U normalnom stanju, njegova duljina bila je 87,5 centimetara. Pokušajmo saznati od kojeg je materijala opruga.

Nađimo brojčanu vrijednost deformacije opruge:

Odavde možemo izraziti vrijednost koeficijenta:

Gledajući tablicu, možemo vidjeti da ovaj pokazatelj odgovara opružnom čeliku.

Problem s koeficijentom elastičnosti

Fizika je, kao što znamo, vrlo precizna znanost, štoviše, toliko precizna da je stvorila cijele primijenjene znanosti koje mjere pogreške. Model nepokolebljive preciznosti, ne može si dopustiti da bude nespretna.

Praksa pokazuje da linearna ovisnost koju smo razmatrali nije ništa drugo do Hookeov zakon za tanki i vlačni štap. Samo kao iznimka može se koristiti za opruge, ali i to je nepoželjno.

Ispada da je koeficijent k varijabilna vrijednost koja ne ovisi samo o materijalu od kojeg je tijelo izrađeno, već io promjeru i njegovim linearnim dimenzijama.

Iz tog razloga, naši zaključci zahtijevaju pojašnjenje i razvoj, jer inače, formula:

ne može se nazvati ništa više od ovisnosti između tri varijable.

Youngov modul

Pokušajmo odrediti koeficijent elastičnosti. Ovaj parametar, kako smo saznali, ovisi o tri veličine:

materijal (koji nam sasvim odgovara);
duljina L (koja označava njegovu ovisnost o);
područje S.

Važno! Dakle, ako uspijemo na neki način “odvojiti” dužinu L i površinu S od koeficijenta, tada ćemo dobiti koeficijent koji potpuno ovisi o materijalu.

Ono što znamo:

što je veća površina poprečnog presjeka tijela, to je veći koeficijent k, a ovisnost je linearna;
što je duljina tijela veća, koeficijent k je manji, a ovisnost je obrnuto proporcionalna.

To znači da koeficijent elastičnosti možemo napisati na sljedeći način:

gdje je E novi koeficijent koji sada ovisi isključivo o vrsti materijala.

Uvedimo koncept "relativnog produljenja":

.

Zaključak

Formulirajmo Hookeov zakon za napetost i kompresiju: Za male kompresije, normalno naprezanje je izravno proporcionalno produljenju.

Koeficijent E naziva se Youngov modul i ovisi isključivo o materijalu.