Definicija i formula Hookeovog zakona. Generalizirani Hookeov zakon Do koje vrijednosti napona vrijedi Hookeov zakon?

Gore razmotrena stanja naprezanja i deformacije komponente su jednog fizičkog entiteta - stanja naprezanja i deformacije u nekoj točki tijela.

Pri rješavanju konkretnih problema potrebno je voditi računa o fizičkim odnosima koji postoje između naprezanja i deformacija. U statički određenim problemima moguće je pronaći naprezanja bez fizikalnih odnosa, koristeći samo jednadžbe ravnoteže. U statički neodređenim problemima ta mogućnost izostaje.

Odnos između naprezanja i deformacija obično se utvrđuje eksperimentima, a njegova složenost ovisi o svojstvima materijala. Za izotropne materijale koji se široko koriste u praksi koriste se linearne ovisnosti, uz pomoć kojih je moguće izvršiti proračune kada se naprezanje mijenja u prilično širokom rasponu.

Analizirajmo odnos komponenti napregnutog i deformiranog stanja u nekoj točki tijela, koristeći se principom neovisnosti djelovanja sila. U tu svrhu smo izrezali elementarni paralelopiped iz čvrstog tijela (slika 10.10).

Riža. 10.10.

Razmotrimo slučaj djelovanja samo tangencijalnog naprezanja t y/ na element (sl. 10.10, A). U tom se slučaju pravi kut mijenja samo u ravninama paralelnim s ravninom hu. Slično, možemo razmotriti kutne pomake koji nastaju djelovanjem tangencijalnih naprezanja x yz i x zv . Uz pretpostavku da je materijal izotropan i da postoji linearni odnos između tangencijalnih naprezanja i kutnih pomaka, dolazimo do odnosa

Gdje G- modul elastičnosti druge vrste.

Analizirajmo pomake uzrokovane djelovanjem normalnih naprezanja u smjeru osi Oh(Sl. 10.10, b). Deformacija uzrokovana tim naprezanjem u smjeru osi Ox jednaka je ct v /?, a u smjeru druge dvije osi pomaci se određuju pomoću Poissonovog omjera. v prema formuli -V g v/?. Slično se određuju i deformacije u smjeru osi Oh iz i y i 2. Na kraju, zbrajanjem deformacija u svim smjerovima dobivamo

Pri promjeni tjelesne temperature desne strane relacija (10.38) treba dodati veličine a. Na, Gdje Na- promjena tjelesne temperature; a je koeficijent linearnog toplinskog širenja izotropnog materijala. Što se tiče formula (10.37), one će ostati nepromijenjene.

Relacije (10.37) i (10.38) nazivaju se generalizirani Hookeov zakon za slučaj linearno elastičnog izotropnog materijala.

Pri izvođenju izračuna korisni su i obrnuti odnosi:

Imajte na umu da smo pri izvođenju fizičkih odnosa prešutno pretpostavili da se smjerovi glavnih naprezanja i glavnih deformacija međusobno podudaraju. Ova pretpostavka je tzv uvjeti koaksijalnosti tenzora naprezanja i deformacija.

U slučaju anizotropnih materijala, čija se svojstva razlikuju u različitim smjerovima, uvjet koaksijalnosti nije zadovoljen. Za elastične anizotropne materijale, generalizirani Hookeov zakon je zapisan na sljedeći način:

Ovdje a t -- konstante elastičnosti koje izražavaju svojstva materijala. Uvedimo notaciju

Tada možemo prikazati relacije (10.40) u obliku vektorske matrice:

gdje su (a) i (e) vektori, redom, naprezanja i deformacija; [A] matrica elastičnih svojstava materijala.

Za izotropni linearno elastični materijal od tri konstante E, G i v, kao što smo ranije utvrdili, samo su dva od njih neovisna. Matrica elastičnih svojstava takvog materijala je sljedeća:

Pri pisanju generaliziranog Hookeovog zakona za anizotropni materijal (10.40) korišteno je 36 konstanti. Odredimo koliko je od tih veličina neovisno. Razmotrimo dva napregnuta stanja (sl. 10.11).

Riža. 10.11.

Istezanje elementa u pravcu na, uzrokovan napregnutim stanjem prvog smjera (sl. 10.11, A), jednaki dA vl/= a 2 p x dy. Produljenje elementa u prvom smjeru, uzrokovano drugim stanjem naprezanja, određuje se na sličan način (Sl. 10.11, b): dA f/x = a x p y dx.

Prema principu uzajamnosti rada

odakle slijedi da je I |2 = a 21.

Na sličan način možete dobiti još 14 jednakosti a:j= ajt,i,j = 1, 2,..., 6, i J. Matrica sukladnosti materijala A je simetričan. Tako je za anizotropne materijale od 36 karakteristika samo 21 neovisna.

Pri analizi kompozitnih materijala treba se baviti posebnim slučajevima anizotropije. Čest slučaj je ortotropni materijal, odlikuje se simetrijom oko tri međusobno okomite osi. Primjer takve anizotropije je drvo. Elastična svojstva ortotropnog medija opisana su s devet neovisnih konstanti:

gdje po svojstvu simetrije

Konstante elastičnosti kompozitnih materijala se u većini slučajeva određuju eksperimentalno.

• Zapisivanje naprezanja i deformacija u obliku vektorskih veličina je formalno i uvedeno je zbog pogodnosti.

Promatranja pokazuju da je za većinu elastičnih tijela, kao što su čelik, bronca, drvo itd., veličina deformacija proporcionalna veličini sila koje djeluju. Tipičan primjer koji objašnjava ovo svojstvo je opružna vaga, kod koje je istezanje opruge proporcionalno djelovajućoj sili. To se vidi iz činjenice da je podjela takvih ljestvica ujednačena. Kao opće svojstvo elastičnih tijela, zakon proporcionalnosti između sile i deformacije prvi je formulirao R. Hooke 1660. godine i objavio 1678. godine u djelu “De potentia restitutiva”. U suvremenoj formulaciji ovog zakona ne razmatraju se sile i gibanja točaka njihove primjene, već naprezanje i deformacija.

Stoga se za čistu napetost pretpostavlja:

Ovdje je relativno produljenje bilo kojeg segmenta uzeto u smjeru istezanja. Na primjer, ako rebra prikazana na Sl. 11 prizme su prije primjene opterećenja bile a, b i c, kao što je prikazano na crtežu, a nakon deformacije bit će redom, tada .

Konstanta E, koja ima dimenziju naprezanja, naziva se modul elastičnosti, odnosno Youngov modul.

Zatezanje elemenata paralelno s djelujućim naprezanjima o praćeno je kontrakcijom okomitih elemenata, odnosno smanjenjem poprečnih dimenzija štapa (mjere na crtežu). Relativna poprečna deformacija

će biti negativna vrijednost. Ispada da su uzdužne i poprečne deformacije u elastičnom tijelu povezane konstantnim omjerom:

Bezdimenzionalna veličina v, konstantna za svaki materijal, naziva se omjer bočne kompresije ili Poissonov omjer. Sam Poisson je, polazeći od teorijskih razmatranja koja su se kasnije pokazala netočnima, smatrao da za sve materijale (1829.). Zapravo, vrijednosti ovog koeficijenta su različite. Da, za čelik

Zamjenom izraza u zadnjoj formuli dobivamo:

Hookeov zakon nije egzaktan zakon. Za čelik su odstupanja od proporcionalnosti beznačajna, dok lijevano željezo ili rezbarenje očito ne poštuju ovaj zakon. Za njih se i može aproksimirati linearnom funkcijom samo u najgrubljoj aproksimaciji.

Dugo se vremena čvrstoća materijala bavila samo materijalima koji se pokoravaju Hookeovom zakonu, a primjena formula čvrstoće materijala na druga tijela mogla se učiniti samo uz veliku rezervu. Trenutačno se počinju proučavati nelinearni zakoni elastičnosti i primjenjivati ​​na rješavanje specifičnih problema.

Hookeov zakon je u 17. stoljeću otkrio Englez Robert Hooke. Ovo otkriće o istezanju opruge jedan je od zakona teorije elastičnosti i ima važnu ulogu u znanosti i tehnologiji.

Definicija i formula Hookeovog zakona

Formulacija ovog zakona je sljedeća: elastična sila koja se pojavljuje u trenutku deformacije tijela proporcionalna je produljenju tijela i usmjerena je suprotno kretanju čestica ovog tijela u odnosu na druge čestice tijekom deformacije.

Matematička notacija zakona izgleda ovako:

Riža. 1. Formula Hookeovog zakona

Gdje Fupr– prema tome, elastična sila, x– elongacija tijela (udaljenost za koju se mijenja izvorna duljina tijela), i k– koeficijent proporcionalnosti, koji se naziva krutost tijela. Sila se mjeri u Newtonima, a produljenje tijela u metrima.

Da biste otkrili fizičko značenje krutosti, morate zamijeniti jedinicu u kojoj se mjeri produljenje u formuli za Hookeov zakon - 1 m, nakon što ste prethodno dobili izraz za k.

Riža. 2. Formula krutosti tijela

Ova formula pokazuje da je krutost tijela brojčano jednaka sili elastičnosti koja se javlja u tijelu (opruzi) kada se ono deformira za 1 m. Poznato je da krutost opruge ovisi o njezinom obliku, veličini i materijalu od kojega je tijelo načinjeno.

Elastična sila

Sada kada znamo koja formula izražava Hookeov zakon, potrebno je razumjeti njegovu osnovnu vrijednost. Glavna veličina je elastična sila. Pojavljuje se u određenom trenutku kada se tijelo počne deformirati, na primjer, kada se opruga stisne ili rastegne. Usmjeren je u suprotnom smjeru od gravitacije. Kada se elastična sila i sila teže koje djeluju na tijelo izjednače, oslonac i tijelo se zaustavljaju.

Deformacija je nepovratna promjena koja nastaje u veličini i obliku tijela. Povezani su s kretanjem čestica jedna u odnosu na drugu. Ako osoba sjedi na mekom stolcu, tada će doći do deformacije stolca, odnosno promijenit će se njegove karakteristike. Dolazi u različitim vrstama: savijanje, istezanje, kompresija, smicanje, torzija.

Budući da je elastična sila po svom podrijetlu povezana s elektromagnetskim silama, trebali biste znati da ona nastaje zbog činjenice da se molekule i atomi - najmanje čestice od kojih se sastoje sva tijela - međusobno privlače i odbijaju. Ako je udaljenost između čestica vrlo mala, tada na njih djeluje odbojna sila. Ako se ta udaljenost poveća, tada će na njih djelovati sila privlačenja. Dakle, razlika između privlačnih i odbojnih sila očituje se u elastičnim silama.

Elastična sila uključuje silu reakcije tla i težinu tijela. Posebno je zanimljiva snaga reakcije. To je sila koja djeluje na tijelo kada se ono postavi na bilo koju površinu. Ako je tijelo obješeno, tada se sila koja na njega djeluje naziva sila napetosti niti.

Značajke elastičnih sila

Kao što smo već saznali, elastična sila nastaje tijekom deformacije, a usmjerena je na vraćanje izvornih oblika i veličina strogo okomito na deformiranu površinu. Elastične sile također imaju niz svojstava.

• nastaju tijekom deformacije;
• pojavljuju se u dva deformabilna tijela istovremeno;
• okomite su na podlogu u odnosu na koju je tijelo deformirano.
• suprotnog su smjera od pomaka čestica tijela.

Primjena zakona u praksi

Hookeov zakon primjenjuje se kako u tehničkim i visokotehnološkim uređajima, tako iu samoj prirodi. Na primjer, elastične sile nalaze se u mehanizmima satova, u amortizerima u transportu, u užadima, gumicama, pa čak i u ljudskim kostima. Načelo Hookeovog zakona leži u osnovi dinamometra, uređaja koji se koristi za mjerenje sile.

Hookeov zakon obično se nazivaju linearnim odnosima između komponenti deformacije i komponente naprezanja.

Uzmimo elementarni pravokutni paralelopiped s stranicama paralelnim s koordinatnim osima, opterećen normalnim naprezanjem σ x, ravnomjerno raspoređen na dva suprotna lica (slika 1). pri čemu σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Do granice proporcionalnosti, relativno produljenje je dano formulom

Gdje E— vlačni modul elastičnosti. Za čelik E = 2*10 5 MPa, stoga su deformacije vrlo male i mjere se u postotku ili 1 * 10 5 (kod uređaja za mjerenje deformacija).

Proširenje elementa u smjeru osi x popraćeno njegovim sužavanjem u poprečnom smjeru, određenim komponentama deformacije

Gdje μ - konstanta koja se naziva omjer bočne kompresije ili Poissonov omjer. Za čelik μ obično se uzima 0,25-0,3.

Ako je predmetni element opterećen istovremeno s normalnim naprezanjima σx, σy, σ z, ravnomjerno raspoređen duž njegovih lica, zatim se dodaju deformacije

Superponiranjem komponenata deformacije izazvanih svakim od triju naprezanja dobivamo relacije

Ove odnose potvrđuju brojni eksperimenti. Primijenjeno metoda preklapanja ili superpozicije pronaći ukupne deformacije i naprezanja uzrokovane nekoliko sila je legitimno sve dok su deformacije i naprezanja male i linearno ovisne o primijenjenim silama. U takvim slučajevima zanemarujemo male promjene dimenzija deformiranog tijela i male pomake točaka djelovanja vanjskih sila te svoje proračune temeljimo na početnim dimenzijama i početnom obliku tijela.

Treba napomenuti da malenost pomaka ne znači nužno da su odnosi između sila i deformacija linearni. Tako, na primjer, u komprimiranoj sili Qštap dodatno opterećen posmičnom silom R, čak i s malim otklonom δ javlja se dodatna točka M = Qδ, što problem čini nelinearnim. U takvim slučajevima, ukupni otkloni nisu linearne funkcije sila i ne mogu se dobiti jednostavnom superpozicijom.

Eksperimentalno je utvrđeno da ako posmična naprezanja djeluju duž svih ploha elementa, tada iskrivljenje pripadajućeg kuta ovisi samo o odgovarajućim komponentama posmičnih naprezanja.

Konstantno G koji se naziva smični modul elastičnosti ili smični modul.

Opći slučaj deformacije elementa uslijed djelovanja na njega triju normalnih i triju tangencijalnih komponenti naprezanja može se dobiti superpozicijom: tri posmične deformacije, određene relacijama (5.2b), superponiraju se na tri linearne deformacije određene izrazima ( 5.2a). Jednadžbe (5.2a) i (5.2b) određuju odnos između komponenti deformacija i naprezanja i nazivaju se generalizirani Hookeov zakon. Pokažimo sada da modul smicanja G izraženo preko vlačnog modula elastičnosti E i Poissonov omjer μ . Da biste to učinili, razmotrite poseban slučaj kada σ x = σ , σy = -σ I σ z = 0.

Izrežemo element abcd ravnine paralelne s osi z a nagnuta pod kutom od 45° prema osi x I na(slika 3). Kao što slijedi iz uvjeta ravnoteže elementa 0 bs, normalan stres σ v na svim stranama elementa abcd jednaki su nuli, a posmični naponi su jednaki

Ovo stanje napetosti naziva se čisto smicanje. Iz jednadžbi (5.2a) slijedi da

odnosno produženje horizontalnog elementa je 0 c jednako skraćenju okomitog elementa 0 b: εy = -εx.

Kut između lica ab I prije Krista promjene i odgovarajuću vrijednost posmične deformacije γ može se pronaći iz trokuta 0 bs:

Iz toga slijedi da

Djelovanje vanjskih sila na čvrsto tijelo dovodi do pojave naprezanja i deformacija u točkama njegovog volumena. U ovom slučaju, napregnuto stanje u točki, odnos između naprezanja na različitim područjima koja prolaze kroz tu točku, određeni su jednadžbama statike i ne ovise o fizičkim svojstvima materijala. Deformirano stanje, odnos između pomaka i deformacija, utvrđuje se korištenjem geometrijskih ili kinematičkih razmatranja i također ne ovisi o svojstvima materijala. Da bi se uspostavio odnos između naprezanja i deformacija, potrebno je uzeti u obzir stvarna svojstva materijala i uvjete opterećenja. Na temelju eksperimentalnih podataka razvijeni su matematički modeli koji opisuju odnose između naprezanja i deformacija. Ti modeli moraju odražavati stvarna svojstva materijala i uvjete opterećenja s dovoljnim stupnjem točnosti.

Najčešći modeli za konstrukcijske materijale su elastičnost i plastičnost. Elastičnost je svojstvo tijela da pod utjecajem vanjskih opterećenja mijenja oblik i veličinu i nakon uklanjanja opterećenja vraća svoju prvobitnu konfiguraciju. Matematički, svojstvo elastičnosti se izražava u uspostavljanju funkcionalnog odnosa jedan prema jedan između komponenata tenzora naprezanja i tenzora deformacija. Svojstvo elastičnosti odražava ne samo svojstva materijala, već i uvjete opterećenja. Za većinu konstrukcijskih materijala svojstvo elastičnosti očituje se pri umjerenim vrijednostima vanjskih sila koje dovode do malih deformacija, te pri niskim brzinama opterećenja, kada su gubici energije zbog utjecaja temperature zanemarivi. Materijal se naziva linearno elastičan ako su komponente tenzora naprezanja i tenzora deformacija povezane linearnim odnosima.

Pri visokim razinama opterećenja, kada u tijelu nastaju značajne deformacije, materijal djelomično gubi svoja elastična svojstva: kada je neopterećen, njegove izvorne dimenzije i oblik nisu potpuno vraćeni, a kada su vanjska opterećenja potpuno uklonjena, bilježe se zaostale deformacije. U ovom slučaju odnos između naprezanja i deformacija prestaje biti jednoznačan. Ovo svojstvo materijala naziva se plastičnost. Zaostale deformacije nakupljene tijekom plastične deformacije nazivaju se plastične.

Visoke razine opterećenja mogu uzrokovati uništenje, tj. podjela tijela na dijelove.Čvrsta tijela izrađena od različitih materijala popuštaju pri različitim količinama deformacije. Lom je krt pri malim deformacijama i događa se u pravilu bez vidljivih plastičnih deformacija. Takvo razaranje tipično je za lijevano željezo, legirane čelike, beton, staklo, keramiku i neke druge konstrukcijske materijale. Niskougljični čelici, obojeni metali i plastika karakterizirani su plastičnim tipom kvara u prisutnosti značajnih zaostalih deformacija. Međutim, podjela materijala na krte i duktilne prema prirodi njihovog razaranja vrlo je proizvoljna, obično se odnosi na neke standardne radne uvjete. Isti materijal može se ponašati, ovisno o uvjetima (temperatura, priroda opterećenja, tehnologija izrade itd.) kao krt ili duktilan. Na primjer, materijali koji su plastični na normalnim temperaturama raspadaju se kao krti na niskim temperaturama. Stoga je ispravnije govoriti ne o lomljivim i plastičnim materijalima, već o lomljivom ili plastičnom stanju materijala.

Neka je materijal linearno elastičan i izotropan. Promotrimo elementarni volumen u uvjetima jednoosnog stanja naprezanja (slika 1), tako da tenzor naprezanja ima oblik

S takvim opterećenjem dimenzije se povećavaju u smjeru osi Oh, karakterizira linearna deformacija, koja je proporcionalna veličini naprezanja

Sl. 1. Jednoosno stanje naprezanja

Ova relacija je matematički zapis Hookeov zakon uspostavljanje proporcionalnog odnosa između naprezanja i odgovarajuće linearne deformacije u stanju jednosnog naprezanja. Koeficijent proporcionalnosti E naziva se uzdužnim modulom elastičnosti ili Youngovim modulom. Ima dimenziju stresa.

Zajedno s povećanjem veličine u smjeru djelovanja; Pod istim naprezanjem dolazi do smanjenja veličine u dva ortogonalna smjera (slika 1). Odgovarajuće deformacije označavamo s i , te su deformacije negativne dok su pozitivne i proporcionalne su:

Pri istodobnom djelovanju naprezanja duž triju ortogonalnih osi, kada nema tangencijalnih naprezanja, za linearno elastični materijal vrijedi princip superpozicije (superpozicije rješenja):

Uzimajući u obzir formule (1 4) dobivamo

Tangencijalna naprezanja uzrokuju kutne deformacije, a kod malih deformacija ne utječu na promjenu linearnih dimenzija, a time ni na linearne deformacije. Stoga vrijede i u slučaju proizvoljnog stanja naprezanja i izražavaju tzv generalizirani Hookeov zakon.

Kutna deformacija uzrokovana je tangencijalnim naprezanjem, a deformacija i , odnosno naprezanjima i. Postoje proporcionalni odnosi između odgovarajućih tangencijalnih naprezanja i kutnih deformacija za linearno elastično izotropno tijelo

koji izražavaju zakon Hookeova smicanja. Faktor proporcionalnosti G naziva se modul smicanja. Važno je da normalno naprezanje ne utječe na kutne deformacije, jer se u ovom slučaju mijenjaju samo linearne dimenzije segmenata, a ne kutovi između njih (slika 1).

Linearni odnos također postoji između prosječnog naprezanja (2.18), proporcionalnog prvoj invarijanti tenzora naprezanja, i volumetrijskog naprezanja (2.32), koje koincidira s prvom invarijantom tenzora naprezanja:

sl.2. Ravna posmična deformacija

Odgovarajući faktor proporcionalnosti DO nazvao volumetrijski modul elastičnosti.

Formule (1 7) uključuju elastična svojstva materijala E, , G I DO, određivanje njegovih elastičnih svojstava. Međutim, te karakteristike nisu neovisne. Za izotropni materijal postoje dvije neovisne karakteristike elastičnosti, koje se obično biraju kao modul elastičnosti E i Poissonov omjer. Za izražavanje modula smicanja G kroz E I , Razmotrimo ravninsku posmičnu deformaciju pod djelovanjem tangencijalnih naprezanja (slika 2). Da bismo pojednostavili izračune, koristimo kvadratni element sa stranom A. Izračunajmo glavna naprezanja , . Ova naprezanja djeluju na područja koja se nalaze pod kutom u odnosu na izvorna područja. Od sl. 2 naći ćemo odnos između linearne deformacije u smjeru naprezanja i kutne deformacije . Glavna dijagonala romba, koja karakterizira deformaciju, jednaka je

Za male deformacije

Uzimajući u obzir te odnose

Prije deformacije ta je dijagonala imala veličinu . Onda ćemo imati

Iz generaliziranog Hookeovog zakona (5) dobivamo

Usporedba dobivene formule s oznakom Hookeova zakona za pomak (6) daje

Kao rezultat dobivamo

Uspoređujući ovaj izraz s Hookeovim volumetrijskim zakonom (7), dolazimo do rezultata

Mehaničke karakteristike E, , G I DO nalaze se nakon obrade eksperimentalnih podataka iz ispitnih uzoraka pod različitim vrstama opterećenja. S fizičkog gledišta, sve te karakteristike ne mogu biti negativne. Osim toga, iz posljednjeg izraza slijedi da Poissonov omjer za izotropni materijal ne prelazi 1/2. Dakle, dobivamo sljedeća ograničenja za konstante elastičnosti izotropnog materijala:

Granična vrijednost dovodi do granične vrijednosti , što odgovara nestlačivom materijalu (at). Zaključno, iz relacija elastičnosti (5) naprezanje izražavamo kroz deformaciju. Zapišimo prvu od relacija (5) u obliku

Koristeći jednakost (9) imat ćemo

Slični odnosi mogu se izvesti za i . Kao rezultat dobivamo

Ovdje koristimo relaciju (8) za modul smicanja. Osim toga, oznaka

POTENCIJALNA ENERGIJA ELASTIČNE DEFORMACIJE

Razmotrimo najprije elementarni volumen dV=dxdydz u uvjetima jednoosnog naprezanja (slika 1). Mentalno popravite stranicu x=0(slika 3). Na suprotnu površinu djeluje sila . Ova sila radi na pomaku . Kada napon poraste od nulte razine do vrijednosti odgovarajuća deformacija zbog Hookeovog zakona također raste od nule do vrijednosti , a rad je proporcionalan osjenčanoj slici na sl. 4 kvadrata: . Ako zanemarimo kinetičku energiju i gubitke povezane s toplinskim, elektromagnetskim i drugim pojavama, tada će se, zbog zakona održanja energije, izvršeni rad pretvoriti u potencijalna energija, akumulirano tijekom deformacije: . Vrijednost F= dU/dV nazvao specifična potencijalna energija deformacije, ima značenje potencijalne energije akumulirane u jedinici volumena tijela. U slučaju jednoosnog stanja naprezanja